Дискретно-непрерывная математика (стр. 77 )

удовлетворяет условию Липшица, подобно тому как это было в теореме 3. Тогда для X Y выполняется соотно­шение

(4)

Доказательство. Поскольку

и

то

Теперь можно получить интервальную оценку дли f, записанной в центрированной форме:

Этот результат позволяет переписать (4) в виде Пусть

Заметим, что

Из (21 п. 7.2) вытекает

Теперь положим

Легкоубедиться в истинности соотношения

если проанализировать два случая, связанных со знаком h(w—z). Далее, исходя из (9 п. 7.2) и (14 п. 7.2), получаем

Наконец,

Выполнение использованного в этом построении условия Лип­шица было оговорено для и как следствие для [].

Утверждение теоремы 4 также можно распространить на случай функции нескольких переменных. Обобщенное таким об­разом соотношение (4) было дано Хансеном; его же, но с применением другой техники получили Шуба и Миллер.

Как следствие из теоремы 3 возникает

Теорема 5. Пусть f — вещественная функция от вещественного аргумента х, f(x) — аналитическое выражение для f. Будем счи­тать, что выполнены все предположения теоремы 3. Тогда для X Y имеет место неравенство

(5)

Доказательство. Опираясь на теорему 3 и соотношение (21 п.7.2), получаем

Исходя из условия Липшица для функции f, можно записать неравенство

из которого следует

что и требовалось доказать.

Соответствующее обобщение на случай нескольких перемен­ных выглядит так:

(5′)

Теперь докажем теорему о вхождении множества W(f, X) в другое множество, появляющееся в результате вычис­ления интервального выражения на основе теоремы о среднем значении.

Теорема 6. Пусть f — вещественная функция от вещественного аргумента х, дифференцируемая на интервале X = [х1, х2], и пусть f'(х) — аналитическое выражение для f' такое, что интер­вальное выражение для f'(X) определено. Тогда если для f' справедливы предположения теоремы 5, то

(а) (б)

где у X и константа

Доказательство. (а) Из теоремы о среднем, примененной к х и у из X, получаем

Из

с учетом монотонности включения вытекает

что доказывает утверждение (а), (б) Пусть

Тогда из теоремы о среднем следует, что

Формулы (12 п.7.2), (3 п.7.2) и (20 п.7.2) дают

Так как то, принимая во внимание (21 п.7.2), по-

лучаем

Теперь используем неравенство

которое следует из (4 п.7.2), (5 п.7.2) и определения 6 п.7.2. Применяя к f(X) соотношения (а), (21 п.7.2) и теорему 5, получаем требуе­мый результат:

Из теоремы 6 вытекает качественный результат теоремы 4 для записанного в центрированной форме выражения

Это важный факт, поскольку уже для многочленов получение центрированной формы требует применения полной схемы Горнера Теорема 6 также может быть обобщена на случай не­скольких переменных. Детали этого мы опускаем.

Рассмотрим теперь рациональную функцию

где

Связав р(х) и q(x) некоторыми условиями, можно указать выражения, для которых со­храняет силу свойство

и более простые, нежели центрированная форма или использо­ванное в теореме 6 представление, основанное на теореме о среднем.

Пусть даны с = т(х)— середина интервала и тейлоровские

разложения Без

потери общности допустим, что где

Если теперь

(7)

и предполагается, что р(х) и q(x) удовлетворяют неравенствам

то для интервального выражения

выполнено свойство (6). Это утверждение справедливо для обоих вышеприведенных выражений независимо от того, вычис­ляются они с помощью степеней X — с либо по схеме Горнера. Если мы по-прежнему находимся в условиях предположения (7) и

то в (6) можно подставить выражение

Сомножитель р'(Х) представляет собой интервальную оценку для первой производной функции р(х), удовлетворяющую соот­ношению Аналогично, q'(X) — интервальная оценка для первой производной q(x), удовлетворяющая нера­венству

В дальнейшем мы рассмотрим методы локализации нулей, ис­пользующие включения на участках монотонности функции.

Ниже мы дадим ряд возможных включений, применимых к отношению разностей. Эти включения будут частично упорядо­чены Оказывается, чго оптимальное включение может быть описано просто и систематично и что вычисления с соответ­ствующими итерациями могут быть выполнены с теми же вы­числительными затратами, что и интервальное оценивание про­изводной. Эти включения выводятся другими способами, зна­чительно отличающимися от использовавшихся у Хансена, решавшего ту же задачу

Включения для примеров, приведенных Хансеном, в точности соответствуют оптимальным включениям для этих же примеров, полученных методами, которые изложены в данной работе. Далее в рассуждениях следуем работе Алефельда.

Пусть имеется многочлен

Справедливость двух нижеследующих равенств очевидна: (8)

(9)

Для фиксированного у и произвольного х из X с помощью (8) и свойства монотонности включения получаем