Дискретно-непрерывная математика (стр. 72 )

Множество всех замкнутых вещественных интервалов обозна­чим через а прописные буквы ­ заре­зервируем для обозначения его элементов. Всякое вещественное число х из может считаться особым элементом из имею­щим вид чаще всего мы будем называть его точечным интервалом.

Определение 1. Два интервала назы-

ваются равными (записывается: А =B), если они равны в тео­ретико-множественном смысле.

Из этого определения непосредственно следует, что

Отношение равенства между двумя элементами из рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Теперь мы можем обобщить арифметику вещественных чи­сел, введя операции над элементами из.

Определение 2. Пусть— бинарная операция на

множестве вещественных чисел. Если то

(1)

определяет бинарную операцию на

В определении предполагается, что в случае деления 0В, и в дальнейшем это явно указываться не будет. Заметим также, что символы операций на множествах І(R) и R совпадают. Это не должно вызывать затруднений, поскольку из контексга всегда ясно, к чему применяется операция: к вещественным числам или интервалам.

Результат операции над интервалами и

может быть получен явно с помощью формул

(2)

Их обоснованием служит тот факт, что где

— непрерывная функция на компактном мно­жестве. Следовательно, f(x, у) принимает как наименьшее и наибольшее значения, так и все прочие значения между ними. Таким образом,— также замкнутый вещественный интервал. Теперь понятно, что (2) — это формулы для вычисления наименьшего и наибольшего значений f(x, у). Из сказанного следует замкнутость множества относительно введенных таким образом операций, а также изоморфизм между вещест­венными числами х, у, ... и интервалами Поэтому всюду далее операцияв которой участвуют точечный интервал и произвольный интервал А, будет записываться в упрощенной формеКроме того, мы часто будем опускать знак умножения.

Набор операций вида (1) может быть дополнен другими традиционными, в основном унарными операциями над интер­валами.

Определение 3. Если r(х)— непрерывная унарная операция на R, то

определяет соответствующую ей операцию на

Примерами таких унарных операций могут служить

Соберем теперь вместе наиболее важные свойства операций на

Теорема 4. Пусть Тогда

(3)

(4)

—единственные нейтральные элемен­ты соответственно сложения и умножения, т. е.

(5)

I(R) не имеет делителей нуля; (6)

произвольный элементу которого а1≠а2, не имеет обратного ни по сложению, ни по умноже­нию. Тем не менее,

(7)

(8)

Доказательство. (3): ПустьТогда

(4):

(5): Необходимость доказывается тривиально. Если N и -два нейтральных элемента сложения, то

Из свойства коммутативности (3) следует, что N=.

Единственностьнейтрального элемента умножения, может быть показана подобным же образом.

(6): Пусть А∙В = 0, т. е.

Из этого следует, что по крайней мере один из интервалов А и В, принадлежащих I(R), должен быть равен [0, 0].

(7): Утверждения, которые нужно доказать, эквивалентны сле­дующим:

Пусть

Отсюда следует, что z=а — b =0 для всех Фиксируя b из В, получаем, что а=b для всех а из А, т. е. А=[b, b]. Соответственно можно заключить, что В = [а, а] и, следовательно, а=b. Второе утверждение до­казывается подобным же образом.

Так как для а из A

то очевидно, что 0 А — А. Аналогично, где 0 А.

(8):

Для того чтобы показать невыполнение равенства в общем случае, приведем один пример:

Далее имеем

Доказывая последнее равенство, будем считать b1 и c1 неотрицательными, что не приведет к потере общности. Если а1 ≥ 0, то

и

т. е. для этого случая утверждение доказано,

Случай а2 ≤ 0 может быть сведен к а1≥0 путем за­мены А на —А. Если а1а2 < 0, то получаем

а также

что доказывает утверждение (8) и для этого случая.

Теперь мы хотим остановиться на вопросе разрешимости

уравнения

АХ = В,

Где Для того чтобы ответить на этот

вопрос, введем вспомогательную функцию χ:

(эту функцию предложил Ратшек).