Дискретно-непрерывная математика (стр. 94 )

и

Определение 1. Две интервальные матрицы

размерности т×п равны (это записывается, как обыч­но, в виде если равны их соответствующие компоненты. Иными словами,

Введем частичный порядок на множестве интер­вальных матриц.

Определение 2. Пусть — интервальные матрицы размерности т×п. Тогда полагаем

■

Отношение вводится аналогичным поэлементным

определением. Если при этом —точечная матрица, то

пишем такжеКаждую интервальную матрицу можно рассматривать как множество точечных матриц. Отношения и между множествами точечных матриц понимаются в обычном теоретико-множественном смысле.

Следующая цель — определить операции над интер­вальными матрицами, формально соответствующие операциям над точечными матрицами.

Определение 3. (а) Пусть — две интерваль-

ные матрицы размерности m × п. Тогда соотношения

определяют соответственно сложение и вычитание интервальных матриц

(b) Пусть — интервальная матрица размерности m×r и — интервальная матрица размерности r×п. Тогда соотношение

определяет умножение интервальных матриц В частности, для интервальной матрицы размерности п×r и интер-

вального вектора u = (Uі) размерности r мы имеем

(c) Пусть — интервальная матрица и X — интер­вал. Тогда полагаем

В дальнейшем предполагается, что интервальные матрицы, участвующие в интервальной операции, имеют нужное для этой операции число строк и столбцов, и это обстоятельство не будет специально оговариваться. Далее предполагается, что интер­вальные операнды (т. е. аргументы операций) имеют подходя­щие элементы Если, например, мы имеем то произведение AB определено, только если

Операции над интервальными матрицами и векторами были формально введены в определения 3. Для вещественных интер­вальных операций мы имеем простое определение 2 п.7.1. Для ин­тервальных матриц аналогичное определение невозможно, одна­ко в общем случае имеет место

Доказательство получается с помощью монотонности отноше­ния включения для интервальных операций. Следующий пример показывает, что равенство не имеет места в общем случае. Пусть

Тогда мы имеем

и если возьмем

то видим, чш не найдется такого что

Пусть и Тогда справедливы

соотношения

(1)

которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Множество интервальных матриц замкнуто относительно опе­раций из определения 3. Множество вещественных или комп­лексных матриц изоморфно соответствующему множеству точеч­ных матриц. Именно по этой причине в определении 3 использо­ваны те же символы операций, что и для соответствующих вещественных и комплексных операций.

Теперь сформулируем некоторые свойства вве­денных операций.

Теорема 4. Пусть — интервальные матрицы. Тогда

(2)

(3) (4) (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Доказательство. Соотношения (2)—(8) доказываются поэле­ментно с использованием формул из теорем 4 п.7.1 и 8 п.7.4. Докажем (9) для квадратных матриц. Из дистрибутивности (8 п.7.1) и фор­мулы (6 п.7.4) получаем

что доказывает первое из соотношений (9). Равенства

дают второе соотношение. Из равенств

мы получаем третье соотношение.

Последнее соотношение получается следующим образом с помощью третьей из формул (8 п.71.):

В общем случае ассоциативный закон не имеет места для ин­тервальных матриц. Это показывает следующий

Пример.

Основное свойство монотонности включения справедливо и для интервальных матричных операций.

Теорема 5. Пусть — интервальные матрицы.

Далее, пусть X, Y—интервалы и

Тогда соотношения

(10)

имеют место для

Доказательство соотношений (10) проводится покомпонентно с использованием (9 п.7.1) и теоремы 9 п.7.4. Имеет место частный слу­чай соотношений (10):

Введем теперь понятия ширины и абсолютной величины интервальных матриц.

Определение 6. Пусть A =(Aij) — интервальная матрица. Тогда

(a) вещественная неотрицательная матрица

называется шириной матрицы A;

(b) вещественная неотрицательная матрица

называется матрицей абсолютных величин или абсолютной ве­личиной матрицы A.

Cоберем теперь в одном месте некоторые свойства ши­рины и абсолютной величины интервальных матриц. Частичный порядок

используется здесь для вещественных интервальных матриц X p и размерности т×п. Перечислим эти свойства.

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17) (18)