Дискретно-непрерывная математика (стр. 81 )

а также машинное число ап. Требуется вычислить выражение

Теоретически можно воспользоваться таким алгоритмом:

(S)

На практике, однако, этот алгоритм выполняется в виде

()

Начав с (15а), установими для произвольных интервалов А и В получим, что

(22)

где

Предположим на время, что

уже вычислено. Тогда из (22) следует

а значит,

(23)

При помощи математической индукции покажем, что

(24)

Для п=1 из (23) с учетом гого, чтополучаем

откуда видна справедливость нашего предположения при n= 1. Если для некоторого п ≥1 выполнено (24), тогда замена п на n+ 1 в (23), а также использование (5) дают

Последнее выражение тождественно (24), у которого п заменено на n+1. Повторное применение (22) приводит к окончатель­ному результату

(25)

Неравенства (24) и (25) будут использованы дальше.

Замечания. Понятие округления в том виде, как оно встречается в этом микромодуле, подробно рассмотрено Миранкером и Кулишем. Неравенство (15b), явившееся исходным пунктом при обсуждении влияния погрешносгей округления, можно найти у Валлиша и Грюцманна. Оценка (24) была доказана Алефельдом и Рокном; мы еще вернемся к ней дальше. Теорема 5 была доказана Муром.

7.4. Комплексная интервальная арифметика

Теперь определим так называемую комплексную интервальную арифметику. Будет показано, что многие из свойств и результатов, полученных для вещественной интер­вальной арифметики, можно перенести на случай комплексной. Чтобы это проделать, определим множества комп­лексных чисел, которые будут использоваться в качестве комп­лексных интервалов. Имеются два предпочтительных подхода, к рас­смотрению которых и перейдем.

А. Прямоугольники в качестве комплексных интервалов

Определение 1. Пусть А1 и A2 — произвольные элементы из І(R). Тогда множество комплексных чисел

называется комплексным интервалом.

Определенные таким образом множества комплексных чисел могут быть изображены на комплексной плоскости в виде пря­моугольников со сторонами, параллельными осям координат. Множество всех таких комплексных интервалов обозначим через R(С), а прописные буквы А, В, С, ..., X, Y, Z будем использо­вать для обозначения его элементов. Всякое А из R(C) можно записать в виде

где

Комплексное число a = a1-+ia2 можно рассматривать как точечный комплексный интервал:

а каждый элемент А1 из І(R) — как сумму A=A1+i[0, 0]R(С), откуда видно, что

Определение 2. Пусть —два эле-

мента из R(С). Тогда А и В считаются равными (запись: А= В), если

см. также определение 1. п.7.1).

Определенное здесь отношение равенства рефлективно, сим­метрично и транзитивно.

Теперь мы обобщим арифметику комплексных чисел на слу­чай R(С).

Определение 3. Пусть * из— бинарная операция

над элементами из І(R) (как в определении 2 п.7.1). Тогда если

то мы полагаем

Считается, что в случае деления При вычислении степеней это требование может оказаться невыполненными, даже еслив соответствии с определением 2 п.7.1. Если при этом оказывается, что то деление не определено.

Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим следующий пример.

Пример. Пусть

Тогда

Поэтому мы оговариваем, что в определении 3, если произ­водится деление двух элементов из R(C), выражение следует вычислять по правилу

(см. также определение 3 п.7.1).

Тогда в приведенном выше примере

Теперь рассмотрим более внимательно свойства введенной выше комплексной интервальной арифметики.

Сразу же видно, что если то равенство

справедливо для сложения (соответственно вычитания) на мно­жестве R(C). Аналогичное равенство для умножения и деле­ния, вообще говоря, не выполняется. Это можно увидеть из сле­дующего простого примера.

Пример. Пусть

Из определения 3 получаем

С другой стороны,

Справедлива, однако, следующая теорема.

Теорема 4. Операции, введенные определением 3, удовлетво­ряют соотношению

Для сложения и вычитания включение может быть заменено на равенство. Для умножения

где точная нижняя грань берется в смысле частичного порядка на R(C), определяемого теоретико-множественным включением.

Доказательство. Случай сложения и вычитания был рассмот­рен ранее. Пусть теперь Используя монотонность включения вещественных интервалов, для а = а1 + iа2 и b = b1 + ib2 имеем

Поскольку каждая переменная входит в выражение лишь один раз, то получаем, что

По той же причине

Последние два соотношения показывают, что для каждого вещественного числа с1 такого, что

гдеможно найти другое вещественное число с2 такое, что

и Это и требовалось доказать.

Соотношение

также следует из монотонности включения.

Утверждение теоремы 4, касающееся умножения, не допу­скает, вообще говоря, распространения на случай деления. Тем не менее можно получить «уточнение» (в смысле сужения объ­емлющего интервала), если определить, что