Дискретно-непрерывная математика (стр. 9 )

Задача 12. Доказать, что если

и для всякого натурального k>2 имеет место соотношение

то

Задача 13. Доказать тождество

Задача 14. Упростить многочлен

Ответ.

Задача 15. Доказать, что при целом п≥0

делится на 133.

Задача 16. Доказать, что п различных прямых, про­веденных на плоскости через одну точку, делят плоскость на 2п частей.

Задача 17. Доказать, что

Задача 18. Доказать, что

Задача 19. Доказать, что

Задача 20. Доказать, что

Задача 21. Доказать, что

Задача 22. Доказать, что

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном п

Задача 24. (содержание задачи см. в тексте п. 4.4)

Задача 25. При каких натуральных п справедливо не­равенство

2п > 2п+1 ?

Задача 26. Доказать, что при любом натуральном п > 1

Задача 27. Доказать, что при любом натуральном п > 1

Указания и решения приведенных выше задач

1. Гипотеза.

1°. Для п = 1 гипотеза верна.

2°. Пусть

Тогда

2. Гипотеза

1°. Для п = 1 гипотеза верна.

2°. Пусть

Тогда

[Можно также сразу образовать разность 2Sп = Sn и показать, что она равна 2п— 1.]

3. 1°. При п= 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

4. 1°. При п — 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

5. 1°. При п = 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

6. 1°. При п = 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

7. 1°. При п = 1 утверждение справедливо

2°. Пусть

Тогда

8. 1°. При п= 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

9. 1°. При п= 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

10. 1°. При п = 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

11. 1°. При п= 1 утверждение справедливо. 2°. Пусть

12. 1°. При п=1 и п = 2 утверждение справедливо. 2°. Пусть

Тогда

13. 1°. При п = 0 имеем

Следовательно, утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

14. При п = 1 имеем

При п = 2 имеем

При п = 3 имеем

Это наводит на гипотезу

1°. При п = 1 гипотеза верна. 2°. Пусть

Тогда

15. 1°. При п =0 утверждение справедливо.

2°. Предположим, что утверждение справедливо при п = k, т. е. что

делится на 133. Тогда

Мы представили Ak+1 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 133. Значит, Ak+1 делится на 133.

16. 1°. При и = 1 утверждение задачи, очевидно, справедливо. 2°. Предположив, что при п = k утверждение справедливо,

т. е. k прямых делят плоскость на 2k углов, (k+1)-я прямая рас­секает на части сразy два вертикальныx угла, т. е. увеличивает число частей, на которые делится плоскость, на два. Поэтому (k+ 1)-я прямая делит плоскость на 2+ 2 =2(k+ 1) частей.

17. 1°. При п= 1 утверждение справедливо, так как

Тогда

2°. Пусть

Тогда

19. 1°. При п =1 утверждение справедлипо, так как

2°. Пусть

Тогда

20. 1°. При п = 1 утверждение справедливо, так как

21. 1°. Имеем

Поэтому

Значит, при п = 1 утверждение справедливо. 2°. Покажем сначала, что

(1)

Действительно

Значит,

Предположим, что утверждение справедливо при п= k, т. е

(2)

Докажем, что тогда оно справедливо и при п-= k + 1, т. е

(3)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим равенство (3).

22. 1°. При п= 1 утверждение справедливо, так как

2°. Пусть Тогда