Дискретно-непрерывная математика (стр. 78 )

где

Здесь и далее буква Н обозначает, что выражение, которое ею помечено, вычисляется по схеме Гопнепа. В многочлене J2 сте­пени Х′ вычисляются по правилупри r ≥ 1.

Включение J1J2 следует из закона субдистрибутивности. Для вещественного числа у и интервалов всегда

При фиксированном у и произвольном х из X, х≠у, используя субдистрибутивность, данное равенство и формулу (9), полу­чаем

где

и

Докажем теперь еще одну теорему.

Теорема 7. Введенные выше выражения удовлетворяют соотно­шениям

(a)

(b)

(c)

Доказательство. Для простоты ограничимся случаем много­члена четвертой степени (n = 4). Общий случай может быть рассмотрен аналогичным образом.

(а) и (с).Нам достаточно показать, чтоИз

свойства монотонности включения и соотношения (8 п. 7.1) получаем

Достаточно показать, что

(b)

Итак, теорема доказана.

Нельзя ответить в общем случае на вопрос о том, какое из вы­ражений: J2 или J3 — дает лучшее включение. Возможно и Пусть, например,

Тогда имеем

и

Здесь J2 J3.

Если, с другой стороны, у = 0 и, следовательно, то получаем

Теперь

Рассмотрим снова пример с при у = 0 и

X = [0, 2]. В этом случае

откуда имеем

Получение интервалов J1 и J2 с помощью теоремы 7 требует предварительного нахождения Если

вычисляется значение многочлена р(х) в точке у, что встре­чается, например, в итерационных методах, которые будут пассмотрены дальше, то нахождение сі-1 не требует выполнения каких-либо дополнительных ариф­метических операций. Значения сі-1 могут быть найдены в про­цессе вычисления р(у). Пусть, как и ранее,

Воспользуемся схемой Горнера

и для

откудаПо определению

Следовательно,

Примеры.

(а)

Имеем

Оценка J1 совпадает с той, которую получил на этих же данных Хансен.

(b)

Получаем

что совпадает с результатом Хансена.

(с)

В этом случае

и

(d)

что опять совпадает со значением, вычисленным Хансеном.

Однако при X = [—1, 2] и у = 1

Пусть (е)

Используя тейлоровское разложение, получаем

где

и

Функция φ дифференцируема и φ

Интегральная теорема о среднем дает формулу

где η лежит между х и х0. Применяя к φ теорему о среднем, получаем

где

и

причем ξ лежит между х и у, а η — между х0 и ξ. Полагая у = х0, имеем

Если для (п+ 1)-й производной существует вычислимое интер­вальное выражение, то для у = х0

поскольку η, ξ X. Эта оценка снова совпадает с данной Хан­сеном.

(f)

Теперь

Сделанные утверждения могут быть распространены на много­мерный случай.

Замечания. В этом микромодуле было рассмотрено интервальное оце­нивание вещественных функций. Мы сознательно не говорили о произвольных отображениях из І(R) в І(R). Приложения в по­следующих микромодулях требуют использования многих свойств, ко­торые возможно доказать только для интервальных оценок. Если разрешить на І(R) отображения более общего вида, то для каждого приложения необходимо описать множество усло­вий. Следующий пример показывает, сколь велик класс отобра­жений из І(R) в І(R). Единственное ограничение здесь состоит в том, что если область определения сузить до R, то множество значений также будет принадлежать R. Итак, пусть f — веще­ственная функция, f(x) — ее аналитическое выражение, f(X) — оценивающая функция для f(x). Тогда для произвольной φ(х) такой, что φ(0)=0,

определяет отображение из І(R) в І(R). Очевидно, что Если0 при , и если φ(х) монотонна и не убывает при х≥0, то Ψ(Х) обла­дает свойством монотонности включения в форме (1'). Этот пример показывает, что, соответствующим образом выбирая φ(х), можно строить отображения Ψ, имеющие различные свой­ства. Если же потребовать от отображений из І(R) в І(R) вы­полнения всех свойств интервальных оценок, то не найдется никаких других полезных отображений, кроме в точности этих оценок.

Покажем, как можно сократить доказатель­ство теоремы 4, используя теорему 5 примерно так же, как и при доказательстве теоремы 6. Записанная в центрированной форме интервальная оценка