Дискретно-непрерывная математика (стр. 114 )

или ≤0), так кактолько содержит множество а только локализует множество обращений матриц При построении матриц и векторов элементы матрицы и вектора преобразуются в этом случае так, как будто (соответственно меняет знак, потому, что вычисленные значения не позволяют принять иное решение. Этот метод дает, вообще говоря, гораздо лучшую локализа­цию, чем метод Хансена из п.1. Его недостаток —большой объем вычислений. В общем случае приходится не только вычислять интервальную матрицусодержащую обращения всех матриц но и решать две системы интервальных уравнений для каждой компоненты

Замечания. Метод Купермана и Хансена применим и к итерационным методам. Можно искать метод, основанный на реше­нии 2п систем уравнений методом Гаусса. Однако использование метода Хансена всегда дает луч­шую локализацию.

Микромодуль 36

Итерационные методы для локализации обратной матрицы и разложения на треугольные

Пусть даны невырожденная матрица размерности п×п и интервальная матрицатакая, что локализует матрицу, обратную к т. е.

Рассмотрим здесь процедуры, которые итерационно улуч­шают локализующую матрицу

При этом будем использовать преобразование т, отобра­жающее множество интервальных матриц размерности п×п во множестве вещественных точечных матриц размерности п×п. Оно переводит каждую интервальную матрицу в такую, элемен­тами которой являются середины соответствующих элементов исходной матрицы. Иными словами, в обозначениях

вводим отображение.

(1)

равенствами

Это срединное отображение интервальных матриц очевидным образом непрерывно. Оно обладает следующими свойствами:

(2) (3)

(4)

Вот краткое доказательство соотношения (3):

Утверждения (2) и (4) могут быть доказаны аналогично. Теперь сформулируем первый метод, позволяю­щий вычислять последовательность локализаций для обратной матрицы Пусть — фиксированное натуральное число.

Для произвольной точечной матрицыположим

Рассмотрим итерационную процедуру

(5)

В случае r = 2 получаем формулу

которую можно считать интервальным вариантом метода Шульца для вычисления обратной матрицы.

Свойства итерационного метода (5) собраны в следующем утверждении.

Теорема 1. Пусть — невырожденная матрица размерности п×п и — интервальная матрица той же размерности, такая что Пусть последовательность интервальных матриц вычисляется по формулам (5). Тогда

каждое приближение содержит (6)

последовательностьсходится ктогда и (7)

только тогда, когда спектральный радиус мень­ше 1;

для матричной нормы последовательность (8)

удовлетворяет условию т. е. R-порядок метода (5) удовлетворяет неравенству (см. приложение А, теорема 2).

Доказательство. (6): Для произвольной матрицы легко проверить соотношение

Для k = 0 утверждение (6) верно в силу условия теоремы.

Допустим теперь, что Используя только что полу-

ченное равенство и соотношения (10' из микромодуля 29), получаем

Этим завершается доказательство соотношения (6) методом математической индукции.

(7): Используя равенства (2)—(4) для срединного отображения, участвующего в формулах (5), получаем для последова­тельности

следующую рекуррентную формулу:

Это — обобщение итерационной процедуры Шульца. Умножая обе части этого равенства на получаем

или

Отсюда следует, что

Теперь мы покажем, что последовательностьсходится к тогда и только тогда, когда последовательность

срединных матриц сходится к Действительно,

рассмотрим последовательность которая в силу

(12 из микромодуля 29 ) и (19 из микромодуля 29) удовлетворяет рекуррентному соотношению

Если мы имеем теперьто из последнего

соотношения следует, что

С другой стороны, из непрерывности отображеният и равенства (4) сразу получа­ется, что

влечет за собой

Так как выше уже было показано, что условие

необходимо и достаточно для сходимости последовательности

мы получаем (7).

(8): Имеем

Мы используем монотонную и мультипликативную матрич­ную нормупоэтому из только что доказанного соотноше­ния следует