Дискретно-непрерывная математика (стр. 93 )

(10)

Если теперь имеет только простые собственные числа и для них найдены непересекающиеся локализующие интервалы (например, с помощью теоремы Гершгорина), то мы можем применить (5). Это иллюстрирует следующий пример.

Пример, (а) Рассмотрим матрицу

Применяя теорему Гершгорина, мы получаем для собствен­ных чисел матрицы следующие локализующие интервалы:

Исходя из этих интервалов, строим итерации по форму­лам (5) и получаем следующие результаты:

Эти интервалы невозможно улучшить, используя имеющуюся программу (см. приложение С). Подчеркнуты знаки, совпадаю­щие в верхней и нижней границах.

(β) Теперь рассмотрим матрицу

Снова применяя теорему Гершгорина, мы находим для собственных чисел матрицы следующие локализуюшяе интервалы:

Следующие уточненные интервалы были вычислены с по­мощью итерационного метода (5) (ср. с замечаниями, сделан­ными после теоремы 1):

Микромодуль 28

Методы одновременной локализации комплексных корней многочленов

В этом микромодуле обсудим метод одновременной локализации комплексных (в общем случае) корней многочленов, предло­женный Гаргантини и Энричи. Пусть задан многочлен

(1)

где Предположим далее, что заданы

п интервалов

для которых

(2)

(3)

Элемент представляется в дальнейшем в виде

Рассмотрим следующий метод итерации:

(4)

и пусть

(5)

(6)

Для i ≠j из (3) следует, что

(7)

Определим еще величины η(k) соотношением

(8)

Тогда для итерационной схемы (4) верно следующее.

Теорема 1. Пусть р(z) есть многочлен (1) и его корни ξ(i), 1 ≤ i ≤ п, удовлетворяют условиям (2) и (3). В обозначениях (5), (6), (8) пусть

(9)

Тогда

(a) итерация (4) всегда осуществима, причем

(b) имеет место неравенство

Замечание. Из (6) следует, чтоПоэтому в силу (а)

получаем, что

Из (6) следует с помощью теоремы 2 из приложения А, что R-порядок итераций (4) удовлетворяет условию OR((4),

Доказательство, (а): Из

следует, что

Из (10)

имеем

а также

(11)

Так как

то ясно, что

и потому определены

Ввиду

из (2) и монотонности включения следует, что

Это доказывает (а) для k=1.

(b): Из

получаем, что

а потому

Используя это неравенство и (11), получаем теперь

а отсюда и неравенство

т. е.

(12)

Применяя (9), мы получаем из предыдущей оценки нера­венство

Пусть

Тогда, применяя (6), мы получаем

(13)

Чтобы оценить δ(0), используем (10), (11) и соотношение

чтобы получить

что дает, наконец,

(14)

Используя (12), (13) и (14), получаем из (9), что

(15)

т. е.

Отсюда можно так же, как и раньше, получить, что

Из (13) тем же способом, каким было получено (15), выводим, что

(16)

и

(17)

Используя оба последних неравенства, мы получаем из (9)

а потому

Оставшаяся часть доказательства получается методом мате­матической индукции.

Теперь проиллюстрируем итерационный метод (4). Для этого рассмотрим задачу вычисления собственных чисел гессен-берговой матрицы с помощью последовательности локализаций. Нужные при этом значения характеристического многочлена и его производных можно вычислить с помощью метода Хаймана. В качестве конкретного примера рассмот­рим матрицу

Где Применяя теорему Гершгорина, мы получаем, что

каждый из кругов

содержит в точности одно собственное число матрицы HР. С по­мощью (4) мы получаем уточненные локализующие множества W(k,i) для собственных чисел матрицы HР. Ниже в табл. 1 используется представление

где

Таблица 1

Замечания. Итерационный метод, исследованный в теореме 1, можно назвать полношаговым методом. Если на каждом шаге использовать только что уточненные значения приближений, то получим метод, который можно назвать короткошаговым. Mожно показать, что этот метод имеет более чем кубический порядок сходимости к нулю радиуса аппроксимирующего круга.

Микромодуль 29

Операции над интервальными матрицами

Множество вещественных матриц размерности т×п обо­значается через а множество комплексных матриц раз­мерности m × п — через Мтп(С ). Элементы множества обозначаются через Матрицы-столбцы, т. е. вещественные или комплексные векторы, обозначаются через Множество вещественных п-мерных векторов обозначается через множество комплексных векторов — через Vn(C). Аналогичным образом обозначаем через множество матриц, элементами которых являются вещественные интервалы, а че­рез — множество матриц, элементами которых яв­ляются комплексные интервалы; здесь І(С) может обозначать как R(C), так и К(С). Элементы множества Mmn(I(R)) (со­ответственно обозначаются через и мы называем их вещественными (соответственно комп­лексными) интервальными матрицами. Интервальные матрицы-столбцы, т. е. вещественные или комплексные интервальные век­торы, обозначаются через Множество вещественно-интервальных векторов-столбцов обозначается че­рез а множество комплексно-интервальных векторов-столбцов — через Интервальные векторы и матрицы записываются, как обычно, в виде в случае матриц и в случае векторов. Интервальная матрица, все компо­ненты которой являются точечными интервалами, называется точечной матрицей. Точечные векторы определяются аналогично. Упомянем очевидные соотношения