Дискретно-непрерывная математика (стр. 110 )

Если мы заметим теперь, что приимеет место представление

то получим

Формально это соответствует обращению круговою комп­лексного интервала. Для представления вещественных интерва­лов в виде верно также

Кроме того, имеем

Наконец, имеем

Докажем сначала следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть

— вещественные интервалы или круговые комплексные интервалы, причем Тогда для

справедливо неравенство

Доказательство. Из монотонности включения следует, что

Отсюда и из следует, что

или

Чтобы сформулировать следующее утверждение, нам нужно понятие М-матрицы. Мы применим здесь эквивалентное определение. Вещественная матрица называется М-матрицей, если выполнены условия

(1)

(2)

В (2) подразумевается покомпонентный частичный порядок. Условие (2) можно заменить следующим условием:

Существует вещественный вектортакой (2')

что

Этот факт, а также то обстоятельство, что диагональные эле­менты М-матрицы положительны, используется в следующем утверждении.

Теорема 3. Пусть — интервальная матрица, причем

и пусть

— вещественная матрица, определенная соотношением

Если является М-матрицей, то для матрицы можно выполнить алгоритм Гаусса без перестановки строк или столбцов.

Доказательство. Предположение, что является М-матри­цей, означает существование вектора с положитель­ными элементами, такого что т. е. верно

Ввиду неравенства выполнено условиеи применимы формулы из первой части этого микромодуля. Теперь мы покажем, что условия теоремы выполнены и для интер­вальной матрицы размерности (п—1)×(п—1), где

Это позволит немедленно за­вершить доказательство теоремы с помощью математической индукции.

Для i ≥2 имеет место

С помощью неравенства

справедливого в силу условия теоремы, можно получить оценки

где последнее неравенство получается по лемме 2. Это завер­шает доказательство.

Следующее определение вводит важный класс интервальных матриц, удовлетворяющих условиям теоремы 3.

Определение 4. Говорят, что интервальная матрица компоненты которой являются вещественными интервалами или круговыми комплексными интервалами, имеет сильно доминирующую диагональ (или что ее диагональ сильно доминирует), если

Очевидно, что элементы сильно доминирующей диагонали не содержат нулей и что для любой точечной матрицы выполнено соотношение

Поэтому любая точечная матрицаимеет сильно доминирующую диагональ в обычном смысле и потому невырож­дена.

Для матрицы с сильно доминирующей диагональю можно выполнить условия теоремы 3, если взять вектор такой что 1≤і≤п. Мы доказали следующее утверждение.

Следствие 5. Пусть интервальная матрица имеет сильно до-минипиющую диагональ Тогда метод Гаусса можно выполнить для без перестановки строк или столбцов.

Требование строгого доминирования диагонали можно осла­бить, сохранив применимость метода Гаусса, если данная интервальная матрица имеет вид

т. е. является трехдиагональной интервальной матрицей. Мы предположим еще, что так как в противном случае задача распадается на меньшие задачи, для которых эти условия выполнены.

Теорема 6. Пусть — трехдиагональная интервальная матрица, такая что

Предположим далее, что

Тогда метод Гаусса может быть выполнен без перестановки строк или столбцов.

Замечание. В случае трехдиагональной матрицы условия из определения 4 выполнены только для первой и последней строк.

Доказательство теоремы 6. Первый шаг метода Гаусса со­стоит в порождении трехдиагональной матрицы для ко­торой

Покажем, что в матрице сильный критерий суммы по строкам выполнен не только для первой, но и для второй строки, т. е. верно

Имеем

т. е.

Так как

и

получаем, что

После п—1 шага такого типа приходим к матрице имеющей ненулевые элементы только для главной диагонали и супердиагонали (расположенной непосредственно над главной), причем никакой элемент главной диагонали не содержит нуля. Третье предположение применяется на (п—1)-м шаге. Заметим, что доказательство теоремы 6 можно несколько сократить. Из условий теоремы 6 следует, что матрица BР, вве­денная в теореме 3, имеет неприводимо сильно доминирующую главную диагональ, а потому явля­ется М-матрицей. Это означает, что наше утверждение — просто частный случай теоремы 3.

Рассмотрим теперь систему, имеющую более подходящий для итерации вид

где — вещественная интервальная матрица и с — интервальный вектор. Согласно теореме 1, из микромодуля 31, итерационный метод

сходится для любого начального интервального вектора к единственной неподвижной точке, т. е. решению уравнения тогда и только тогда, когда спектральный радиус