Дискретно-непрерывная математика (стр. 123 )

в формуле, определяющей отображение получаем

Так как мы имеем что дает противоречие.

Из доказательства предыдущей теоремы видно, что можно избежать применения метода Гаусса, если известна интерваль­ная матрица такая что

Тогда с помощью отображения введенного в доказатель­стве предшествующей теоремы, мы получим соотношение

Итак, мы имеем следующее утверждение.

Теорема 9. Пусть отображение непрерывно дифференцируемо в причем производная имеет вычисление в интервальной арифметике для некоторого Пусть интервальная матрица такова, что для

Если теперь

для фиксированного то в имеется нуль функции

Если же

то в нет нулей функции

В обшем случае мы будем вычислять матрицусо свойст­вами, нужными в этой теореме, применяя метод Гаусса п раз к интервальной матрице со столбцами единичной матрицы в качестве правых частей.

Теорема 10. Пусть отображениенепре-

рывно дифференцируемо в причем производная имеет вычис­ление в интервальной арифметике для некоторого Если включение

имеет место для некоторого невырожденной матрицы

и единичной матрицы , то имеет корень в Если же

тоне имеет корней в

Очевидным кандидатом на роль является

Нахождение этой матрицы требует обращения точечной матри­цы, а также некоторого числа умножений матриц на матрицы и некоторого числа умножений матриц на векторы для проверки включений. Существенную часть этих умножений можно сэко­номить, если применить метод Гаусса к некоторой системе ли­нейных уравнений, у которой матрица коэффициентов точечная, а правая часть — интервальный вектор. Это замечание уточ­няется в следующем утверждении.

Теорема 11. Пусть отображение непре-

рывно дифференцируемо в причем производная имеет вычис­ление в интервальной арифметике для некоторого Пред­положим еще, что — невырожденная вещественная точечная матрица и что метод Гаусса в применении к точечной матрице и правой части для некото­рого дает интервальный вектор Если теперь выпол­нено то имеет нуль в Если же то не имеет нулей в

Доказательство. Рассмотрим отображение

определяемое формулой

Мы видим, что верно равенство

т. е. выполнено равенство

Ввиду получаем, что

Если теперь применить метод Гаусса к системе линейных уравнений, заданной матрицей и правой частью

то получим интервальный вектортакой что имеет место для Если теперь

то отсюда следует, что Теперь можно завершить доказательство так же, как в пре­дыдущей теореме.

Основное достоинство этой теоремы заключается не в эко­номии вычислений по сравнению с процедурой из теоремы 10. По сравнению с аналогичным результатом из теоремы 8 главное достижение состоит в том, что метод Гаусса всегда применим к невырожденной точечной матрице. С другой стороны, условие слабее, чем требование ) в теореме 11, по крайней мере при выборе (середина вектора х) и В этом можно убедиться следующим обра­зом. Используя введенное ранее обозначение z для вектора, вычисленного методом Гаусса, мы имеем для произвольной не­особенной матрицы

Применяя доказанное в микромодуле 33 свойство (3) алгоритма Гаусса, мы получим

т. е. мы имеем включение

Покажем теперь, что при левая часть этого соотношения равна значению из теоремы 10.

Используя симметричность выражений и

а также (8 из микромодуля 29) и последнюю формулу из (9 микромодуля 29), получим

Рассмотрим теперь некоторые теоремы существования, в ко­торых участвует вычисление в интервальной арифметике второй производной. Для этого предположим, что отображение

дважды непрерывно дифференцируемо и что вторая производная имеет вычисление в интервальной арифметике. Для некоторого и произвольного

вначале вектора мы рассмотрим следующие интервальные векторы.

(22)

где (23)

где (24)

с произвольной невырожденной матрицей .

Мы докажем сначала следующее утверждение, аналогичное предыдущей теореме.

Теорема 12. Пусть отображениедважды

непрерывно дифференцируемо в Если для некоторого і, 1≤і≤3 и верно