Дискретно-непрерывная математика (стр. 103 )

для полношагового метода удовлетворяет неравенству

фактор αs для короткошагового метода удовлетворяет нера­венству

а фактор для симметрического короткошагового метода

удовлетворяет неравенству

Доказательство. Проведем доказательство для полношаго­вого метода. Если то, согласно теореме 1, полноша­говый метод сходится для любого начального вектора к един­ственной неподвижной точкеуравнения . Выбрав произвольным образом, мы получаем из свойств расстояния q, что

и для произвольного k ≥ 1

Используя монотонную векторную норму, которая существует по теореме 11, и подчиненную ей матричную норму, имеем

т. е.

Так как ε>0 было произвольным и αт не зависит от нормы, получаем неравенство αт т. е. утверждение теоремы для этого случая. Остальные случаи рассматриваются ана­логично.

Неизвестно, можно ли поставить знак равенства в наших оценках для Чтобы доказать, что это верно, скажем, для полношагового метода, нужно было бы указать начальный вектор для которого имеет место

Это можно довольно легко сделать в конкретных случаях, но доказательства для общего случая нет.

Замечания. Непосредственное применение интервального ана­лиза к итерационному решению систем уравнений было впервые рассмотрено и показано, что полношаговый ме­тод (2) для вещественной интервальной матрицыи вещест­венного интервального векторасходится к единственной неподвижной точке, если Необходимые и достаточные условия из теорем 1 и 3 были найдены для веществен­ных интервальных матриц и для интервальных матриц с элементами из За­метим, не вдаваясь в подробности, что более общую задачу о неподвижной точке

можно исследовать тем же методом, который был использован в этом микромодуле. Например, если то для итерации

имеется единственная неподвижная точка при любой начальной матрице Мы имеем в этом случае

Следует также сделать некоторые замечания по по­воду условиякоторое в силу теоремы 1 необходимо и достаточно для сходимости полношагового метода. В частном случае, когда — точечная матрица и— точечный вектор, мы получаем, что последовательные приближения

(6)

сходятся к решению

для любого интервального вектора тогда и только тогда, когда С другой стороны, последовательные приближения

(7)

сходятся для всех к

если .

Если мы проводим итерацию (6) в то в обозначениях мы имеем:

Если, с другой стороны, мы проводим итерацию (6) в то имеем

В силу неравенства

имеем

Из

следует, что

(8)

Последнее неравенство показывает, что (6) требует в общем случае более сильных предположений, чем (7). Это происходит потому, что необходимое и достаточное условие для (6) гаран­тирует сходимость для любых интервальных векторов, а мно­жество всех точечных векторов, которые допускаются в (7) в ка­честве начальных, является собственным подмножеством мно­жества всех интервальных векторов.

Вторая часть неравенства (8) показывает, что при реализа­ции итерации (6) вoт требуется выполнение не менее сильных условий, чем в случае Это верно и для систем уравнений, коэффициенты которых — невырожденные интервалы. С этой точки зрения арифметические операции в имеют некоторые преимущества перед операциями в.

Микромодуль 32

Методы релаксации

Мы уже рассмотрели полношаговый, короткошаговый и сим­метрический короткошаговый методы. Существует много других методов решения линейных систем точечных уравнений вида

для которых можно уменьшить асимптотический фактор сходи­мости путем введения одного или нескольких параметров. Большую часть этих приемов можно перенести на ите­рационные методы, использующие интервальные векторы. В ка­честве примера мы рассмотрим метод релаксации для короткошаговою случая.

Как и в короткошаговом методе, разложим матрицу в сумму где — нижняя строго треугольная матрица, — верхняя строго треугольная матрица и—диа­гональная матрица. Затем строим последовательные прибли­жения

начиная с произвольного интервального вектораС помощью векторных обозначений эти формулы можно записать в виде

где ω>0 — параметр. Так же, как это делалось для полноша­гового или короткошагового метода, можно показать, что

является необходимым и достаточным условием сходимости ме­тода к единственной неподвижной точке для произвольного на­чального вектора.

Можно далее показать, что при это условие выполнено для всех значений ω, которые удовлетворяют нера­венству