Дискретно-непрерывная математика (стр. 63 )

Структурное число

называется структурной единицей, которая служит аналогом действительной или мнимой единицы в области комплексных чисел.

6.1.2. Вычитание структурных чисел

Рассмотрим два произвольных структурных числа А и В. Из определения равенства и суммы структурных чисел следует, что существует только одно структурное число, удовлетворяю­щее равенству

В + X = А, (1.16)

которое вследствие коммутативности суммирования структурных чисел можно переписать как

X + В = А, (1.16а)

Структурное число X, удовлетворяющее равенствам (1.16) и (1.16а), называется разностью структурных чисел А и В:

X = А —В.

Действие нахождения разности структурных чисел назы­вается вычитанием. Легко заметить, что разность чисел А и В есть число X = А+В. Действительно, подставляя в выраже­ние (1.16) X = А + В, получаем уравнение

В + (А +В) =А,

которое в соответствии с (1.13б) представляет собой тождество. Таким образом, получаем обоснованное соотношение

А - В =А +В, (1.17)

которое в случае А = 0 записывается в виде

-В = В. (1.18)

Из сказанного следует, что на множестве структурных чисел вычитание всегда можно заменить сложением. Вычитание, следо­вательно, определено однозначно и всегда, выполнимо, поэтому множество структурных чисел замкнуто по отношению к сумми­рованию и вычитанию.

Подводя итог рассмотренным свойствам структурных чисел, можно заключить, что кольцо структурных чисел 1) не содержит степеней и 2) не содержит коэффициентов (кроме 0 и 1); а 3) сложе­ние идентично вычитанию.

6.2. Свойства структурных чисел

6.2.1. Делители нуля

Пусть А* — множество структурных чисел X, удовлетворяю­щее уравнению

АХ = 0,

где А — некоторое структурное число, и пусть А* — элементы этого множества. Тогда

(1.19)

Числаудовлетворяющие уравнению АХ = 0, называются сопряженными по отношению к А или делителями нуля.

Следствие. Если два структурных числа X1 и Х2 удовлетворяют равенству АХ = 0, то такому же равенству удовлетворяет их линейная комбинация C1X1 + С2Х2, а также произведение СХ1Х2, где С1, С2, С — произвольные структурные числа, включая 0 и 1. Тогда

(1.20)

Обоснование этого положения элементарно и предлагается выпол­нить читателю.

Полагая в выражении (1.20) С1 = С2 = С = 1, приходим к выводу, что к А* относятся сумма Х1 + Х2 и произведение Х1Х2 структурных чисел Х1 и Х2, удовлетворяющих уравнению АХ = 0.

Множество А* решений уравнения АХ = 0 можно в общем случае определить с помощью выражения, записанного в символах математической логики:

(1.21) Свойство (1.21) следует непосредственно из определения про­изведения структурных чисел.

6.2.2. Делимость структурных чисел

Если для двух структурных чисел А и В существует такое число X, что

А = ХВ, (1.22)

то А делится на В, или В — делитель числа А, т. е.

В |А и А ≠ 0. (1.23)

Очевидно, каждое структурное число А ≠ 1 и А ≠0 имеет самое малое два делителя, а именно 1 и А; число 1, в свою оче­редь, имеет лишь один кратный делитель.

Структурные числа A , содержащие только один дели­тель А, называются простыми числами; любое другое структурное число называется сложным. Каждый делитель, представляющий собой однострочное структурное число, называется основным делителем.

Теорема 1.3. Структурное число В представляет собой дели­тель структурного числа А тогда и только тогда, когда оно удо­влетворяет следующим условиям:

1) АВ = 0;

2) все столбцы числа А являются подмножествами некоторых столбцов числа В.

Доказательство. Если число В есть делитель числа А, то существует такое X, что

ВХ = А.

Но это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда все столбцы числа А представляют собой подмножества некоторых столбцов числа В, а В — элемент, сопряженный с А. Следова­тельно,

(1.24)

Следует заметить, что деление, определенное на множестве структурных чисел, обладает свойством

(1.25)

Деление также представляет собой слабо симметричное отно­шение, т. е. (А | В и В | А) А = В, что вытекает из следую­щей теоремы.

Теорема 1.4. Если структурное число В — делитель структур­ного числа А, а число А — делитель В, то А = В.

Доказательство. Положим, что одновременно имеет место

Из теоремы 1.3 следует, что тогда могут быть одновременно выпол­нены условия

что может иметь место только при А = В.

Для структурных чисел имеет место правило сокращения, т. е. если СА = СВ, то А =В. Это положение можно обосновать.

Теорема 1.5. Уравнение АВ=АХ имеет общее решение на множестве структурных чисел

где А* — произвольный сопряженный элемент А. Тогда

(1.26)

Доказательство. Из уравнения АВ = АХ следует, что А (В + X) = 0 и В + X — число, сопряженное с А, а соответственно и X = В + А*, где А* — произвольный элемент множе­ства решений уравнения АХ = 0. Подставляя число X — В + А* в уравнение АВ = АХ, убеждаемся, что это число действительно удовлетворяет данному уравнению.

Теорема 1.6. Каждое сложное структурное число имеет по крайней мере один делитель, представляющий собой простое число, не равное единице.

Доказательство. В соответствии с определением сложное число А имеет делители, отличные от 1 и А. Положим в таком случае, что В — один из этих делителей, т. е.

(1.27)

Если В — непростое число, то его можно представить как В = X1В1. При этом получим

(1.28)

Но для А ≠ 0 должно выполняться очевидное неравенство

(1.29)

где тА — число элементов в столбце числа А, содержащем наи­меньшее количество элементов. Множество натуральных чисел {1, 2, . . ., l} имеет наибольший элемент lмакс, поэтому l макс есть простой делитель числа А. Для А = 0 неравенство (1.29) не должно выполняться, но, согласно изложенному, из произ­вольного делителя числа А (сложного, ненулевого) можно извлечь простой делитель, что и доказывает теорему 1.6.

Теорема 1.7. Каждое структурное число представляет собой простое число или произведение простых чисел.

Правильность этого положения следует из теоремы 1.6. Дей­ствительно, если структурное число А можно представить в виде (1.28) с простым делителем l, то на простые делители можно раз­ложить каждый дополнительный делитель Х0, Х1, Х2, ... Хl. Тогда структурное число можно всегда представить в виде про­изведения простых чисел

(1.30)

В случае, когда А само будет простым числом (не равным единице), произведение сводится к одному сомножителю. Раз­ложение числа А на простые числа запишем тогда в следующем виде:

(1.31)

Нетрудно заметить, что структурные числа имеют следующие свойства:

1. Любое структурное число, состоящее из разных (неповто­ряющихся) элементов и содержащее более одного столбца, есть простое число.

2. Каждое структурное число, состоящее из одной строки, простое.

3. Каждое структурное число, состоящее из одного столбца, сложное (п > 1).

4. Сумма простых чисел может быть сложным числом, сумма сложных чисел может быть простым числом.

Пример 1.5.

В данном примере, суммируя вначале два простых структур­ных числа, получаем сложное число; затем, суммируя сложное число, получаем простое число. Следствием второго свойства структурных чисел является то, что множество простых струк­турных чисел бесконечно, если бесконечно множество X, из которого взяты элементы структурных чисел. Оказывается, раз­ложение структурных чисел на простые имеет специфические особенности, отличные, например, от особенностей разложения в области натуральных чисел. Одна из этих особенностей рассма­тривается в следующей теореме.