Дискретно-непрерывная математика (стр. 67 )

Тогда

а также

т. е. условие (1.62) не выполняется для графа (рис. 1.4, б) и этот граф не соответственный.

Рис. 1.4. Примеры графов: а) соответственный;

б, в, г) несоответственные.

Очевидно, что применение условия (1.62) для определения характера графа излишне, если известна его структура. Из рассмотрения контуров графа можно непосред­ственно сделать вывод о том, выполняется ли условие (1.62). Однако это условие весьма ценно, если известно только структур­ное число, не разложенное на первичные сомножители, а также для использования при синтезе электрических цепей с помощью структурных чисел на ЭВМ.

6.8. Понятие ряда и последовательности структурных чисел

Если натуральным числам поставить в соответствие структур­ные числа, то можно сказать, что таким образом определена последовательность структурных чисел, записываемая в виде

Понятия сходимости и границы последовательности структур­ных чисел основываются на понятии метрики. Положим, дано структурное число

где мощность множеств а и А конечная, а αij — элементы норми­рованного пространства.

Введем сначала понятие нормы множества а, которую обозна­чим как Примем определение

где—норма элемента αi.

Норму структурного числа определим как

где λ проходят все столбцы, имеющиеся в числе А. Метрику на множестве структурных чисел определим как

где — означает симметричную разность множеств. Из этого опре­деления следует, что метрика ρ(А, В) удовлетворяет следующим основным условиям:

Для двух произвольных структурных чисел справедливо также неравенство

которое следует из неравенства Буняковского — Шварца.

Если для последовательности структурных чисел Ап суще­ствует структурное число А, удовлетворяющее равенству

то структурное число А называется границей последовательности структурных чисел Ап и записывается в виде

Последовательность Ап называется сходящейся, если имеет границу, и, наоборот, расходящейся, если таковая отсутствует.

Кроме сходимости по отношению к метрике, введем и другие понятия сходимости последовательности структурных чисел, кото­рые обозначаются

и определяются с помощью изображения и обратного изображения структурного числа:

Примером сходимости последовательности Ап по отношению к обратному изображению может служить цепь, метрический граф которой имеет ступенчатую структуру с равномерно распре­деленными на отрезке [0, 1] вершинами (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Лестничный граф с равномерно распределенными вер­шинами.

Если увеличить число делений отрезка [0, 1], то при п →∞ граф преобразуется в структуру с густым (однако четным) множе­ством ребер. Нумеруя грани графа, например, как показано на рис. 1.5, можно определить следующую последовательность струк­турных чисел:

обратным изображением которой и служит наш граф.

Эта последовательность сходится к обратному изображению структурного числа

где Sn — последовательность цепей (метрических графов) вида изображенных на рис. 1.5.

Рядом структурных чисел называется выражение

Структурные числа А1, А2, А3, . . . называются составляющими ряда, числа же

есть частные суммы ряда. Бесконечный ряд структурных чисел называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда структурных чисел.

Если

то

Микромодуль 22

Структурные числа высшей категории

Физические системы состоят из элементов, взаимодействую­щих друг с другом различным образом. Например, электрические цепи могут состоять из многополюсных элементов (многополюс­ников); их также можно рассматривать как системы, состоящие из блоков или подцепей. Топологические модели таких систем представим в виде графов второй категории, построенных из дву­мерных континуумов (блоков) с выделенными точками, называе­мыми полюсами. Блоки соответствуют ребрам линейных графов первой категории. Структурные числа блок-графов назовем струк­турными числами высших категорий — второй, третьей и т. д. Эти числа, подобно матрицам, состоящим из подматриц, представ­ляют собой семейства структурных чисел низшей категории. Основываясь на определении операций над числами первой кате­гории, определим в соответствии с теорией множеств и элементами математической логики операции над структурными числами высшей категории.

6.9. Определение структурного числа второй категории

В общем определении структурных чисел не уточнялись харак­терные черты множеств элементов, из которых состоит это число, поэтому можно рассмотреть случаи, когда эти элементы также являются структурными числами. В связи с этим введем понятие структурного числа 2А второй категории следующим образом.

Определение 2.1. Структурное число второй категории 2А есть семейство множеств 2aj

(2.1)

где

— структурное число первой категории.

Структурное число второй категории можно также записать в виде

(2.2)

или

(2.3)

где элементы Аij — структурные числа первой категории.

Введем понятие замещающего числа для структурного числа второй категории.

Определение 2.2. Замещающим числом для структурного числа второй категории 2А называется структурное число первой кате­гории А, полученное применением операций алгебры структур­ных чисел над элементами Aij числа 2А:

(2.4)

Обозначим соотношение соответствия замещающего числа А числу 2А через

(2.5)

Поясним способ нахождения замещающего числа следующим примером:

Определим для структурных чисел второй категории понятие равенства, а также операции сложения и умножения:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

где

Таким образом, соотношениепредставляет собой гомео­морфизм.

Для структурных чисел второй категории справедливы сле­дующие соотношения:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

гдеозначает симметричную разность, r — функция повторе­ний, а k — натуральное число.

Легко заметить, что равенство структурных чисел второй категории рефлексивно, симметрично и транзитивно, операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, а умноже­ние дистрибутивно по отношению к сложению.

Заметим, что модуль сложенияструктурных чисел