Дискретно-непрерывная математика (стр. 126 )

(34)

требуется только матрица Если выполнено неравенство

то доказывается сходимость локализаций к нулю. Если за­мена на то доказывается суперлинейная сходимость. Эта процедура используется для локализа­ции собственных чисел вещественных матриц. Выражение в ле­вой части пересечения, определяющего в формулах (34),— это из теоремы 10.

В ряде работ исследуется сходимость метода (34). Докажем здесь обобщение этих результатов. В действительности мы хотим показать, что если соотношение

имеет место для некоторой матрицы и интервального вектора с центром то итерационный метод (34), где — центр вектора при k≥0, сходится к единственному нулю функции в интервале

Отношение определяется аналогично тому, как это сделано в теореме 14.6. Сформулированное выше условие

влечет за собой Мы имеем

тогда и только тогда, когда расстояние от удовлетворяет неравенству

которое эквивалентно неравенству

Ввиду равенства

это дает

Отсюда следует, что спектральный радиус неотрицательной матрицы меньше 1. (Все скалярные произведения строк на положительный вектор меньше 1.) Предельное значение полученное согласно (34), удовлетворяет равенству

т. е.

Из монотонности включения следует, что и поэтому мы имеем

Из теоремы Перрона и Фробениуса о монотонности спек­трального радиуса неотрицательных матриц следует, что вы­полняется и неравенство

Теперь мы имеем Результат

Мура, упомянутый выше, содержит частный случай ин­тервалов, для которых («гиперкубов»).

По аналогии с методом (34), основанным на теореме суще­ствования 10, можем, исходя из теоремы 11, определить сле­дующий итерационный метод:

(35)

Объем вычислений на каждом шаге этого метода значитель­но меньше, чем для метода (34). (Здесь через снова обозначен интервальный вектор, полученный применением ме­тода Гаусса к интервальной матрице и правой части

Используем сокращение

Аналогично утверждению, доказанному для метода (34), покажем следующее. Если для некоторой матрицы и интервального вектора с центром верно соотношение то итерационный метод (35), в котором для k≥0 означает центр сходится к единственному корню

Чтобы доказать это утверждение, заметим, что по тео­реме 11 из следует существование корня функ­ции Используя приведенные ранее соотно­шения для метода Гаусса, можем теперь записать

Поэтомусуществует и имеет место С помощью

математической индукции получаем, что k≥0.

Условие эквивалентно покомпонентному собственному включению. Иными словами, найдется вещественное число для которого

Из

следует, что

а потому

Из и монотонности включения следует, что

а потому

Ранее было доказано, что отсюда следует

т. е.

Из

следует, что

Методом математической индукции доказываем, что

Отсюда следует, что а ввиду

это дает что и завершает доказательство.

Теперь мы хотим сделать еще несколько замечаний о методе (35). (Те же замечания справедливы и для метода (34).) Если применять метод (35), начиная с произвольной невырожденной матрицы и произвольного интервального вектора не обя­зательно удовлетворяющего условию то могут представиться следующие два случая.

(i) Для некотороговерно Тогда не имеет нулей в Действительно, если бы имела нуль в то, как и в случаемы могли бы показать, что пересечение непусто для всех k.