Дискретно-непрерывная математика (стр. 86 )

вести для те же рассуждения, что и для и по-

лучить оптимальное значение

Соответствующим образом мы получаем результаты для

в этом порядке.

Теорема 3. Пусть метод итерации (3) применяется к функции Еслии спользуется правило

то максимальная ширинадля функций меньше, чем для любых других выборов точки m(X(k)). Если то мы имеем

Существует , для которой в последнем соотношении

выполняется равенство.

Доказательство этой теоремы содержится в только что проведенном рассуждении. Следует отметить, чтоможно выбрать в виде кусочно-линейной функции, проходящей через точки

8.3. С. Квадратично сходящиеся методы

В методе (3) мы используем фиксированную пару m1, m2 гpaниц для разностных отношений функции f. Эта процедура соот­ветствует интервальному варианту упрощенного метода Ньютона. Если мы предположим, что f непрерывно дифференцируема и для производной f имеется интервальная оценка f'(X), то мы можем определить интервальный вариант и для обычного метода Ньютона. Эта новая процедура получается, если мы модифицируем метод (3), заменяя интервал М на ин­тервал

(9)

на k-м шаге итерации. Если известны априорные оценки

то можно гарантировать оценку m1 > 0 и использовать выра­жение

(10)

Таким образом, мы получаем

(11)

С помощью (11) порождается последовательность интервалов для которой можно доказать утверждение, аналогич­ное теореме 1.

Теорема 4. Пусть f — непрерывно дифференцируемая функция и f удовлетворяет в интервале Х(0) условиям теоремы 3 п.7.4. Пусть, далее, для Х(0) выполнено (1), нуль функции f в Х(0) обозначен через ξ и интервалы M(k) определены формулами (9) или (10). Тогда последовательность либо удовлетворяет соотношениям

(5) (6)

либо стабилизируется на значении через конечное число шагов

(12)

т. е. R — порядок метода итераций (11) (см. приложение А) удовлетворяет условию

Доказательство. Дляверно

Поэтому аналогичное утверждение для М(k) можно теперь до­казать так же, как в теореме 1.

Остается установить (12). Как и в доказательстве теоремы 1, получаем

откуда с помощью 9 п. 7.2 и теоремы 5 микромодуля 24 имеем

Метод итераций (11) и теорема 4 соответствуют известным формулировкам. Продолжим дальше модифицикаю этого метода Заме­тим, что если (соответственно то искомый нуль ξ должен лежать в интервале (соот­ветственно Если и процесс итерации заканчивается. Поэтому в (11) достаточно положить

где

(13)

Тогда имеемии, таким

образом, легче выполнить условиеТеорема (4) справедлива и для метода (13)

По поводу выбора точек для метода (11) имеем утверждение, аналогичное следствию 2, и можем провести те же рассуждения, что и разд. В. Мы не бу­дем углубляться в это.

Теперь поясним интервальный метод Ньютона на числовых примерах.

Примеры, (а) Функция

имеет нуль ξ в интервале Производную

можно оценить в Х(0):

Локализующие интервалы

вычислялись на компьютере в соответствии с (11) до тех пор, пока не переставали происходить изменения. Результаты приведены в табл. 1.

(β) Многочлен

имеет единственный нуль β в интервале Х(0)=[1, 1.5]. Интер­вальное вычисление р'(х) его производной

Таблица 1

Дает для Итерированные локализующие интервалы

вычислялись в соответствии с (11) с использованием (4). По­лученные значения, приведены в табл. 2.

Таблица 2

На практике определяющим условием для итераций (11) является т1 > 0. Показано, что можно добиться его вы­полнения с помощью (10), используя известную нижнюю оценку l1 производной f'(x) в интервале X(0). Если такая оценка l1 не­известна или если то процедуру (11) нельзя даже начать. Поэтому перед началом итераций следует выполнить несколько шагов метода разбиения интервалов, описанного во введении к этому модулю. Таким образом, мы найдем интервал для которого верно

Имеется еще одна модификация метода Ньютона, примени­мая даже в случаеРассмотрим этот метод, работающий даже при наличии нескольких нулей функции f в Х(0). Если то этот метод совпадает с методом (11). Предположим поэтому, что Разобьем Х(0) на подынтервалы

предполагая, что Все нули функции f в Х(0) должны лежать также и в Действительно, нуль

должен удовлетворять неравенству

откуда следует

и