Дискретно-непрерывная математика (стр. 76 )

Подобным же образом обобщается понятиеинтервальной оценки — теперь она обозначается через

(Множество Мур и другие авторы называют объединенным интервальным расширением, а функцию

— естественным интервальным расширением).

Приведем теперь пример выражения, из которого не удается получить его всюду определенный интервальный аналог путем простой замены операций и операндов. Вещественная функция

определена для всех x из R. Представим f в виде

Заменим теперь независимую переменную х на интервал Х=[—1, 1], содержащийся в области определения f. Замена всех операций на соответствующие им интервальные приводит к интервальному выражению

которое не определено.

Познакомимся с рядом свойств интервального оце­нивания. Два свойства, используемые в последующих утверж­дениях, легко выводятся из теоремы 5 п.7.1 и следствия 6 п.7.1.

Теорема 1. Пусть f — непрерывная вещественная функция,

— аналитическое выражение для f. Пред­положим также, что для интервалов имеется оценка Тогда

а) для всех

справедливо свойство включения

(1)

б) для всех

имеет место монотонность включения

(1′)

Пример. Функция f задана выражением

Для

получаем

Свойство включения (1) позволяет соотнести множество зна­чений функции с ее интервальной оценкой. Позднее мы дадим формулы для их качественного сравнения.

Можно привести примеры, когда в (1) достигается равен­ство. Очевидно, что к их числу относится случай однократного вхождения каждой из величин в выражение

Теорема 2. Пусть р — многочлен от вещественной переменной х, определяемый выражением

где Если встречающиеся в этом выра-

жении степени вычисляются по формуле

(см. определение 3 п. 7.1), то

Доказательство. Для m = 2 истинность теоремы очевидна:

Остальную часть доказательства получаем полной индукцией.

Не всякий многочлен можно привести к форме, требуемой теоремой 2. Однако многочлен второй степени

может быть преобразован к виду

где

Наряду с носящей общий характер теоремой 1 и разобран­ными выше частными случаями, представляет также интерес ка­чественное утверждение о приближении множества значений функции f с помощью ее интервальной оценки. В случае функ­ции одной вещественной переменной справедлива

Теорема 3. Пусть f — вещественная функция от вещественной пе­ременной — ее аналитическое выражение. Обозначим через выражение, по-

лученное заменой вкаждого вхождения х на

новую переменную x(k), 1≤k≤п. Пусть определена оцениваю­щая функция где

Кроме того, предположим, что для кажбой переменной x(k), 1≤k≤п, из интервала Y и произвольно выбранных x(j) из Y,

выражение удовлетворяет условию Липшица. В остальном обозначения имеют тот же смысл, что и в тео­реме 1. При этих предположениях для Х Y имеем

(2)

Доказательство. Во-первых, заметим, что

Теперь мы можем получить интервальную оценку для f в виде

Остается показать, что

Если теперь для Х Y записать

и принять во внимание соотношение

то получим

Разность верхних границ может быть оценена аналогичным об­разом. Получение этих двух оценок доказывает утверждение теоремы.

Теорема 3, как видно из ее доказательства, легко обобщается на случай функции от нескольких переменных Вмеcто имеем величину

Следующий пример иллюстрирует тот факт, что степень бли­зости множества значений функции f и ее интервальной оценки зависит от выбора аналитического выражения

Пример. Пусть Тогда

Различные аналитические выражения для f дают следующие результаты:

Для некоторых классов аналитических выражений можно доказать более сильные утверждения, нежели то, которое при­ведено в теореме 3. К их числу относится так называемая цен­трированная форма записи функции. Центрированная форма пред­ставляет собой специальное выражение, предназначенное для оценки функции f на интервале X. Ограничим наше рассмотре­ние случаем одной вещественной переменной. Выберем в X про­извольную точку z и представим f(x) в виде

(3)

где сомножитель h(x — z) зависит от новой переменной z, рав­ной х — z. Будем называть (3) формой f(x), центрированной относительно z. Применительно к многочленам центрированная форма есть не что иное, как обычное тейлоровское разложение f(x) в окрестности точки z, записанное с сомножителем х — z, имеющимся у всех членов, отличных от постоянного.

Рациональная функция может быть, согласно Ратшеку, приведена к центрированной форме сле­дующим образом. Пусть п — максимум из степеней многочленов р(х) и q(x). Для z из X определим

Функция

является решением функционального уравнения

Теорема 4. Пусть f — вещественная функция от вещественного аргумента х и

— аналитическое выражение для f в центрированной форме. Кроме того, пусть имеется выражение аналогичное соответствующему выражению из теоремы 3. До­пустим, что для некоторого Y из I(R) существует интервальная оценка f(Y) и для каждой своей переменной