Дискретно-непрерывная математика (стр. 82 )

а затем вычислять 1/В по формуле

Данная возможность была предложена Рокном и Ланкасте­ром в виде набора формул, требующих значительной вы­числительной работы.

В. Круги в качестве комплексных интервалов

Определение 5. Пусть а из С — комплексное число, и пусть r≥ 0. Мы называем множество

кругом или круговым интервалом (или просто комплексным ин­тервалом, когда не опасаемся спутать его с прямоугольным интервалом).

Множество всех кругов обозначим через К(С), а прописные буквы А, В, С, ..., X, Y, Z используем для обозначения его эле­ментов. Круг Z с центром а и радиусом r будем записывать в виде

Комплексные числа можно рассматривать как специальные эле­менты из К(С), имеющие вид а, 0. Ясно, что C К(С).

Определение 6. Два круга называются

равными (обозначение: А = В), если они равны в теоретико-множесгвенном смысле. В этом случае

Это отношение равенства также рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Операции на К(С) вводятся как обобщения операций над вещественными числами следующим образом.

Определение 7. Пусть * из — бинарная операция

над комплексными числами. Тогда если ,

то

Здесьобозначает евклидову норму комплексного числа — сопряженное с

Очевидно, что для сложения и вычитания кругов выполненo равенство

То же справедливо для операции обращения круга: если мы применим теорию конформных отображений к отображению вида w =1/z для не содержащего нуля круга, то получим дру­гой круг. Иными словами,

Элементарными преобразованиями легко проверить формулы определения 7 для центра и радиуса области

Для умножения (а следовательно, и для деления) двух эле­ментов из К (С) по правилам определения 7 верно, вообще го­воря, только то, что

Это вытекает из следующих неравенств:

Аналогично теореме 4 п.7.1, соберем теперь вместе наиболее важные свойства операций на R(C) и К (С). Если не оговорено противное, то І(С) можно понимать и как обозначение множе­ства R(C) с операциями из определения 3, и как обозначение множества К (С) с операциями из определения 7.

Теорема 8. ПустьТогда

(1) (2)

(3)

— определенные единственным образом нейтральные элементы сложения (нуль) и умножения (единица);

(4)

элемент Z множества имеет противоположный и (5)

обратный элементы, если и только если ZC u

в случае мультипликативных операций Z ≠ 0.

Однако

(6)

Доказательство. Доказательство этих утверждений следует из определений операций 3 и 7. В качестве примера докажем (6) для К (С). Если то

В случает. е. равенства нулю r1, доказательство

приводит к соотношению

Необходимо особо отметить, что ассоциативный закон (2) в общем случае не выполняется при перемножении элементов R(C). Это можно увидеть из следующего примера. Пример.

Теорема 9. Пусть таковы, что

Тогда соотношение

выполняется для операций * из.

Доказательство. Это верно для R(C), поскольку монотонность включения выполняется для элементов І(R) (см. теорему 5 п.7.1).

В случае сложения и вычитания элементов К(С ) имеем

Рассмотрим теперь умножение на множестве К (С). Пусть

Предположение эквивалентно тому, что

Далее,

Требуется доказать, что

Из неравенства треугольника получаем

а поскольку

имеем

Отсюда

что доказывает теорему для случая умножения. Из того, что

следует, что

Теорема доказана.

Частным случаем теоремы 9 является

Следствие 10. Пусть Тогда

где

Замечания. Круги в качестве комплексных интервалов впервые ввели в систематическое употребление Гаргантиии и Энричи. Рассмотренная в этом микромодуле арифметика кругов была предложена ими и была использована для одновременной локализации корней многочлена. Другие приложения арифметики кругов будут изложены дальше. Важное свойство монотонности включения в том виде, как оно сформулировано в теореме 9, впервые доказано Г. Алефельдом и Ю. Херцбергом. Как уже было отмечено, решена проблема такого определения умножения кругов, которое приводит к получению меньших множеств. Арифметика на R(C), сводящаяся при вы­полнении некоторых условий к вещественной, предложена Алефельдом. Свойства этой арифметики исследовали также Бош, Рокн и Ланкастер.

Как уже неоднократно указывалось, в основе почти всех при­ложений интервальной арифметики лежит монотонность вклю­чения (теорема 9). Умножение, предложенное Криером, не обладает этим свойством, что было показано там же на при­мере.

Приближенная реализация арифметики прямоугольников на цифровой вычислительной машине не вызывает проблем, по­скольку операции на R(C) сводятся к операциям на І(R). Ранее было показано, как сделать возможной реализацию при­ближенных операций над элементами І(R) на ЦВМ без потери наиболее важных свойств арифметики, что позволяет проделать то же самое для R(C).

7.5. Метрика, абсолютная величина и ширина в І(С)

В этом микромодуле q будет обозначать метрику на І(R), задавае­мую определением 1 п.7.2. Введем теперь метрику на R(C).

Определение 1. Пусть А = А1 +iA2 и В = В1 + iB2 принадлежат R(C ). Тогда расстояние р между А и В определяется формулой

Если р используется в пространстве І(R), то оно принимает те же самые значения, что и q из определения 1 п.7.2. Поэтому в дальнейшем расстояние на R(C) будет обозначаться через q, так что