Дискретно-непрерывная математика (стр. 136 )

гдето BO[I] устанавливается в 'FALSE' (т. е. дальнейшее уточнение не про­изводится). Если достигнуть выполнения данного нера­венства не удается (например, в случае, когда ε оказа­лось равным 0), тогда применяется критерий остановки, упомянутый при описании ВО.

EMPTY Это метка, на которую передается управление, когда при некотором i попытка взять пересечение, согласно (5 из микромодуля 27), приводит к получению пустого множества. Необходи­мость в этом возникает, когда

EXIT На эту метку передается управление, если какая-либо из интервальных компонент входных массивов А, В или X имеет нижнюю границу больше верхней. То же самое происходит, если начальные локализации не являются попарно непересекающимися, как того требует метод (5 из микромодуля 27). Предполагается, что собственные значения прону­мерованы в порядке их роста. Если по каким-либо при­чинам более удобен другой порядок, то необходимо изме­нить следующий фрагмент:

Глобальные имена. Процедура EIGIMP использует процедуры LOW и MUL как глобальные.

В. Короткошаговый метод

Теперь дадим описание алгол-процедуры ITERATION. Эта процедура реализует короткошаговый метод с взятием пересе­чения после вычисления каждой компоненты (SIC). Метод пред­назначен для нахождения неподвижной точки уравнения и удовлетворяет построчному или постолбцовому критерию (обсуждение метода см. в гл. 14). Элементы и — вещественные интервалы. Как показал Алефельд, в этом случае легко находится вектор , содержащий

Перейдем к перечислению формальных параметров.

N Целое число, задающее размерность системы уравнений.

МАТ Соответствует интервальной матрице , имеющей размер­ность п×п. Компонента MAT[I, J, 1] (соответственно MAT[I, J, 2]) представляет нижнюю (соответственно верх­нюю) границу —элемента матрицы

VEC Соответствует n-мерному интервальному вектору Его компоненты VEC[I, 1] и VEC[I, 2] представляют границы

и компоненты Bі вектора b.

EXIT Метка, на которую передается управление, если не удов­летворяет построчному или постолбцовому критерию.

X Возвращаемое значение неподвижной точки

Процедура ITERATION использует процедуры LOW, ADD и MUL как глобальные (см. ниже).

С. Обращение матрицы

Перейдем теперь к описанию алгол-процедуры, которая реа­лизует изложенный в микромодуле 36 итерационный метод для локализа­ции матрицы, обратной к Чтобы сохранить гарантирован-ность включений при вычислениях в машинной интервальной арифметике, нужно заменить вещественные операции на опера­ции с точечными интервалами. Только в этом случае мы сможем учесть все погрешности, возникающие из-за округлений. По этой причине, а также из-за того, что при вводе тоже нельзя избе­жать появления погрешностей, все вещественные константы и матрицы заменяются на интервальные. Для получения направ­ленных округлений при выполнении интервальных операций мы будем пользоваться процедурами, описанными в приложении В. Сначала ознакомимся с процедурой MATINV, которая имеет следующие формальные параметры (см. выше):

N Целое число, задающее размерность матрицы

А Служит для представления обращаемой интервальной матри­цы

размерности п×п. Компоненты

соответствуют нижней и верхней границам элемента Аij ма­трицы

Если Аij представим в виде точечного интервала, то, конечно,

эти границы равны.

X Служит для представления интервальной матрицы размер­ности п × п. Компонентысоответствуют нижней и верхней границам I-го элемента матрицы. Па­раметр используется и как входной, и как выходной. При вы­зове процедуры этот формальный параметр заменяется фак­тическим параметром таким что

где ||∙||— норма матрицы. После подстановки итерация (5 из микромодуля 36) повторяется (с r = 2) до тех пор, пока не будет сфор­мирована матрица, удовлетворяющая неравенству (11 из микромодуля 36).

В качестве нормы используется

Когда выполнено (11 из микромодуля 36), тогда при r=2 итерации продол­жаются в соответствии с (9 из микромодуля 36), пока две следующие подряд локализации не окажутся равными друг другу. Тогда итерации останавливаются, а последняя интервальная матрица сохраня­ется в Х, служащем выходным параметром. Для нахождения матрицы ' применяется алгол-процедура INCLUSIONSET.

Процедуры LOW, ADD и MUL из приложения В исполь-зуются нами как глобальные.

Последней мы рассмотрим алгол-процедуру INCLUSIONSET (см. ниже), которая вычисляет начальную матрицудля последующей передачи ее в процедуру MATINV.

Процедура имеет следующие формальные параметры:

N Задает размерность обращаемой матрицы.

Соответствует интервальной матрице размерности п×п. Компонента (соответственно представляет нижнюю (соответственно верхнюю) границу — эле­мента матрицы Фактическим параметром для В служит машинное представление обращаемой матрицы

X Соответствует интервальной матрице размерности п×п. Компонента (соответственно представляет нижнюю (соответственно верхнюю) границу Хij — эле­мента матрицы После выполнения процедуры X соответ­ствует интервальной матрицеобладающей свойством

Вычислениепроизводится с помощью формул, следующих из теоремы 2 микромодуля 36. В качестве используются как построчная, так и постолбцовая нормы.

L Это метка, на которую передается управление, если ни по­строчная, ни постолбцовая нормы не меньше 1 (в этом случае матрицу невозможно вычислить с помощью упомя­нутых выше формул).

Процедура LOW из прилож. В используется как глобальная.

Список литературы

1. Горбатов дискретной математики. - М.: Высшая школа, 1986.

2. Коршунов основы кибернетики. - М.:Энергия, 1980.

3. , Адельсон-Вельский математика для инженера. - М.:Энергия, 1980.

4. Компьютерная математика.- М.: Наука, 1990.

5. Сигорский аппарат инженера.-К.: Техника, 1977.

6. Кузичев Венная.- М.: Наука, 1968.

7. Кононюк математика. В 2 ч. Ч.1,2 - К:КТМ, 2007.

7. Кононюк математика. В 2 ч. Ч.1,2 - К:Освіта України, 2010.

8. , и др. Нечеткие множества в моделях управления и икусственного интелекта.- М.: Наука, 1986.

9. Введение в теорию нечетких множеств.- М.: Радио и связь, 1982.

10. Введение в прикладную комбинаторику.- М.: Наука, 1975.

11. Згуровский системы оптимального управления и проектирования.- К.: Высшая школа, 1990.

13. Фреймы для представления знаемый. - М.:Энергия, 1979.

14. Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем.- М.: Наука, 1978.

15. , /Прикладная геометрия, вып. 8, N 18 (2006), стр. 9-36.

16. , , . Элементы комбинаторики.-М.: Наука, 1977.

17. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под ред.

. - М.: Статистика, 1975.

18. Перманенты. М.: Мир, 1982.

19. Холл. М. М.: Мир, 1970.

20. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

21. , Алексеев алгоритмы в ситуационных мо­делях управления организационными системами. — В кн.: Методика построения систем ситуационного управления /Науч. совет АН СССР по комплексной про­блеме «Кибернетика». — М., 1978, с. 3—10.

22. , Аппен возможных характеристик при анализе альтернатив. — В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределен­ности. — Рига: РПИ, 1980, с. 94—100.

23. , Голендер разделение размытых обра­зов — Методы и средства технической кибернетики. — Рига: РПИ, 1969, вып. 5, с. 32—38.

24. , Корнеева подход к построению моделей принятия решений в условиях неопределенности. — В кн.: Методы при­нятия решений в условиях неопределенности. — Рига: РПИ, 1980, с. 4—12.

24. , Крумберг решений при выборе техноло­гических объектов. — Там же, с. 127—134.

Научно-практическое издание

Дискретная математика

Книга 4

Алгебры

Часть 2

Авторская редакция

Подписано в печать 21.01.2011 г.

Формат 60x84/16.

Усл. печ. л. 16,5. Тираж 300 экз.

Издатель и изготовитель:

Издательство «Освита Украины»

04214, г. Киев, , к. 40

Свидетельство о внесении в Государственный реестр

издателей ДК № 000 от 01.01.2001 г.

Тел./; 237-5992

E-mail: *****@***net, www. rambook. ru

Издательство «Освита Украины» приглашает

авторов к сотрудничеству по выпуску изданий,

касающихся вопросов управления, модернизации,

инновационных процессов, технологий, методических

и методологических аспектов образования

и учебного процесса в высших учебных заведениях.

Предоставляем все виды издательских

и полиграфических услуг.