Дискретно-непрерывная математика (стр. 130 )

Из того что

невырожденная, следует, что Аналогично устанавливается, что

Если матрица для невырожденная, то из (1) следует, что

т. е.

Если предположим теперь, что выполнено (18), то

влечет за собой

С помощью (16) мы устанавливаем (19).

Введем сокращения

Ввиду существует константа

такая что верно

Из формул (8) следует, с помощью (17), что (23)

Аналогично устанавливается, что

(24)

Используя монотонную норму и теорему об эквивалентности норм, мы можем записать (23) и (24) в виде

(23′) (24′)

Из (8) с помощью равенства получаем

С помощью (18) получаем теперь

(25)

Введем норму для матриц с помощью равенства

и положим

Из (23'), (24') и (25) получаем теперь

т. е.

где

Теперь получаем нашу теорему, сославшись на теорему 2 из приложения А. I

Содержание теоремы 1 легко перенести на методы с более высокой скоростью сходимости. Для этого мы сохраняем матрицу неизменной в течение нескольких шагов. Приближенное обращение матрицы делается с помощью метода высокого порядка. В результате это дает сле­дующую итерацию:

Этот метод сходится в условиях теоремы 1, и порядок сходи­мости равен т + 2.

Следующее утверждение содержит частный случай теоре­мы 1, который получается, когда обращение матрицы производится точно, а не приближенно.

Теорема 2. Пусть в теореме 1

а итерация (8) заменена на

(8')

Тогда верны все утверждения теоремы 1.

Доказательство. (5), (6), (7), а также (12), (13) и (14) вы­полнены тривиальным образом ввиду (4). Неравенство (11) также следует из (4). Остальную часть доказательства можно повторить без изменений.

Следует заметить, что при численном исполнении метода (8') треугольное разложение матрицы

по методу Гаусса следует производить только один раз.

Рассмотрим теперь класс систем нелинейных уравнений, к которому можно применить предыдущие теоремы.

Пусть

(26)

где и является М-матрицей, т. е. hij≤0 для Отображение

непрерывно дифференцируемо и

где

и выполнено Полагая

можем записатьв виде

Пусть — матрица, i-я строка которой равна

для Если выпукла, то из теооемы о

среднем значении для отображений, определенных на

следует, что

для

Пусть — верхняя граница в интервальном вычислении производной для интервала

Из монотонности включения следует, что

для т. е.

Если теперь положим

то в обозначениях получим,

что

а также

Теперь выполнены условия (1), (2), (3) теоремы 1. Так как — М-матрица, то из известной теоремы и того факта, что ε≥ 0, следует при достаточно малых что является М-матрицей. Это означает, что выполнено (4) (при условии, что ε удовлетворяет неравенству

Пусть обозначает диагональную часть матрицы

Ввиду

мы, полагаяполучаем, что

так как

Наш выбор матрицы обеспечивает выполнение условий (5), (6) и (7) теоремы 1.

Если матрица представлена в виде

где — строго нижняя треугольная матрица, а — строго верхняя треугольная матрица, то