Дискретно-непрерывная математика (стр. 98 )

Если же то зафиксируем z = z1. Тогда найдется

для которого

Таким образом, всегда получаетсяСоотношение

доказывается тем же методом. Это и дает

Теперь используем эту лемму, чтобы получить утверждение о константах Липшица для интервальных вычис­лений

Теорема 8. Пусть f — вещественная функция вещественной пере­менной х. Из выражения принадлежащего функции f , построим выражение заменяя каждое вхождение переменной х на новую переменную

Допустим, что это новое выражение удовлетворяет условию Липшица

при каждом и фиксированных

Если существует интервальная оценка, то

для любых интервалов выполнено следующее

условие Липшица:

(5)

Доказательство. Из способа построения выражения следует, что

Если произвольным образом выбрано

то мы имеем

Из леммы 7 следует, что для произвольного yі существует для которого

Рассматривая значение функции

получаем с помощью сделанных предположений и много­кратного использования неравенства треугольника, что

Аналогичное неравенство можно установить для произволь­ногоПрименяя лемму (7), получаем не­равенство (5).

Условия теоремы 8 на практике почти всегда выполнены. Рассматриваемые здесь функциональные выражения составлены из основных арифметических операций и стандартных функций. Поэтому они почти всегда дифференцируемы на своей области определения.

В качестве приложения доказанной теоремы приведем не­сколько конкретных примеров.

Примеры. (а) Интервальная оценка этой функции

для и произвольныхудовлетворяет в силу

(5) неравенству

(b)

В силу (5) интервальная оценка этой функции удовлетво­ряет для и произвольныхне­равенству

Здесь X— наименьший интервал, содержащий Полученное неравенство верно независимо от того, как вычисляется Хк — как произведениеили как одноместная операция согласно определению 3 п.7.1.

Читателю предоставляется в качестве простого упражнения получить аналогичную формулу для рациональных выражений.

(с)

В силу (5) интервальная оценка этой функции удовлетво­ряет для и произвольныхнеравенству

Здесь X снова обозначает наименьший интервал, содержа­щий

Теорема 8 без труда переносится на функции нескольких переменных. Таким образом, мы получаем формулы для интер­вальных вычислений отображений fР, описанных в начале этого микромодуля. Нужно только применить эти неравенства покомпонентно. Это без труда следует из уже доказанных результатов, и мы опускаем подробности. Такие формулы в свою очередь позво­ляют вычислять практически матрицу Pр, участвующую в определении 3. Приведем простой пример.

Пример. Дано п функций

Интервальная оценка существует для произвольных интерва­лов Кроме того, каждая из данных функций удовлетворяет условиям тео­ремы 8 для данных интервалов а именно

Если мы теперь применим теорему 8 к каждой компоненте, то получим

Если теперь то, согласно теореме 4, уравнение

имеет единственную неподвижную точку, которая может быть найдена методом итераций. Применяя теорему 5, можно пока­зать, что короткошаговый метод также сходится.

В теореме 4 мы предположим для простоты, что отображение fР определено на всем пространстве, что fР можно интервально оценить для всех элементов множества и что fР есть Pр - сжатие. Простые примеры [в частности, пример (b)] показывают, однако, что матрица Pр в определении 3 может зависеть от x и y и что условие может нарушаться для некоторых x, y. В этом случае может помочь следующее утверждение.

Теорема 9. Пусть есть Pр - сжатие для

всех x, y из замкнутого множества Если для всех то уравнение

имеет единственную неподвижную точку х* f(θ), причем, ите­рациисходятся к этой неподвижной точ­ке х* при любом начальном векторе

Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы 4.

Заметим, что из неравенства

которое следует из теоремы 4, мы получаем оценку погрешности

для теорем 4 и 9, переходя к пределу прив предыдущем

неравенстве.

Сформулируем еще одну лемму, которая будет использована позднее.

Лемма 10. Пусть —епрерывное

отображение.

Пусть отображение

также непрерывно и для всехсуществует обращение

Если при всех верно для отобра-