Дискретно-непрерывная математика (стр. 101 )

(b) Сначала покажем, что

то обратные матрицы

,

как известно, существуют и неотрицательны. Поэтому вещественная матрица

также неотрицательна. Применяя известную теорему, по­лучаем

а используя

имеем, наконец,

Отсюда по известной теореме следует неравенство.

Из соотношения

ввиду теоремы Перрона и Фробениуса следует, что

Поэтому ввиду теоремы 1 уравнение имеет единственную неподвижную точку х* . Из равенства

с помощью (23, микромодуль 29)—(25, микромодуль 29) и (V) следует, что

а так как это дает

Аналогичным образом получаем

откуда, наконец,

Из того, что спектральный радиус выражения в фигурных скобках меньше 1, получаем, что

(с): Пусть уравнение имеет единственную неподвижную точку Из неравенства

которое выводится так же, как в доказательстве п. (b), следует, что последовательность сходится кдля любого Отсюда и из верхнего равенства (V) следует причто

т. е.

или

Мы должны еще доказать, что

Чтобы сделать это, поступаем так же, как в доказательстве теоремы 1.

Из теоремы Перрона и Фробениуса известно, что матрица

имеет неотрицательный собственный вектор, соответствующий неотрицательному собственному числу

Теперь мы выбираем так, чтобы был собственным

вектором, соответствующим собственному числуи при этом хотя бы одна компонента вектора была больше, чем соответствующая компонента вектора Тогда из (V) с помощью (12, микромодуль 29) и (18, микромодуль 29) следует, что

или

а также

или

Наконец, мы получаем

Из сходимости итераций (V) к следует сходимость после­довательности к Предположениеприво­дит к неравенству

что в пределе при дает а это противоречит выбору вектораПоэтому , и теорема доказана.

Теперь возьмем в теореме 6

Тогда имеем Ввиду специального выбора

матрицравенство

справедливо для всех интервальных векторов. Это дает приво­димое ниже следствие теоремы 6.

Следствие 7. Симметрический короткошаговый метод (SS) схо­дится к единственной неподвижной точке уравнения для любого начального вектора тогда и только тогда, когда спектральный радиус матрицы

меньше единицы.

Мы уже установили в доказательстве теоремы 6 (b), что не­равенство

влечет за собой Теперь мы хотим показать, что в

предположении

верна и обратная импликация, если выполнены условия

из теоремы 6. Итак, предположим, что

В силу известной теоремы матрица, обратная к существует, и мы имеемРассмотрим следующее разложение:

Из | следует, что обращения матриц

существуют и неотрицательны. Поэтому неотрицательно и произведение Тем самым рассматриваемое разложение матрицы регулярно, так как матрицанеотрицательна. Отсюда с помощью известной теоремы мы по­лучаем соотношение

Собирая все вместе и применяя теорему 6 (b), получаем сле­дующее утверждение.

Теорема 8. Пусть интервальная матрица A разложена в сумму двух интервальных матриц, для которых выполнено

Тогда неравенство

эквивалентно неравенству

Равенствобудет выполнено, например, в

случае, когда разложена в сумму с