Дискретно-непрерывная математика (стр. 92 )

Применяя теорему 5 микромодуль 24, мы получаем оценку

и, так как

получаем далее

с константами γ(і), зависящими только отМно-

гократно применяя (12 п.7.2), мы получаем далее

с подходящими константами η(i,j) , зависящими только от Х(0,j), 1≤ j≤ п, так каки применимы (3 п.7.2) и (9 п.7.2). Резюмируя все это, получаем следующее неравенство:

(6)

То же самое рассуждение можно провести для метода (5); единственное дополнительное обстоятельство, которое нужно учесть — это соотношениеЭто приводит к неравенству

(7)

В следующем утверждении оценивается R-порядок методов (3) и (5).

Теорема 2. В предположениях и обозначениях теоремы 1 для R-порядка методов (3) и (5) имеет место

(8)

и

(9)

где — единственный положительный корень многочлена

Доказательство. (8): Из (6) немедленно получаем, что

где

Отсюда следует, что

Тогда из теоремы 2 приложения А следует, что

(9): Доказательство соотношения (9) требует больших усилий.

Пусть

Тогда мы можем переписать (7) в виде

Применяя подстановку

это соотношение можно далее переписать в виде

Предположим без потери общности, что

Тогда мы имеем

Вектор компоненты которого — целые числа, может быть вычислен по правилу

с помощью начального вектора (Здесь

векторы с вещественными компонентами, называемые точеч­ными векторами, обозначаются буквамис индексами р (point), чтобы отличить их от интервальных векторов. То же делается для «точечных матриц».

Тогда матрица имеет вид

Доказательство этого соотношения может быть проведено методом математической индукции, и мы не приводим его здесь. Матрица неотрицательна, и ее направленный граф очевидным образом является сильно связным. Отсюда следует, что неприводима. Тогда из теоремы Перрона — Фробениуса следует, что имеет собственное числоравное ее спектральному радиусу Матрица примитивна. Поэтому остальные ее собственные числа удов­летворяют соотношению

Так как матрица примитивна, мы имеем для некотопого натурального числа k(0), что

Для матриц, обладающих дву­мя последними свойствами, имеем

Поэтому для данного ε > 0 верно, что

или

где

Отсюда следует, что

что дает

Используя правило вычисления векторов

мы получаем тогда

гдеПоэтому получаем

Это легко переформулировать в виде

Пусть теперь

Тогда получаем

Поэтому мы можем заключить, что R-фактор удовлетворяет соотношению

Отсюда следует, что

для всех ε> 0, а потому

Рассмотрим теперь характеристический многочлен

матрицы :

Полагая мы можем написать его в виде

Так как

для п ≥ 2, то по правилу Декарта многочленимеет ровно

один положительный корень σ(п), для которого

Поэтому спектральный радиус матрицы удовлетворяет соотношению

откуда получается

Мы опишем теперь одно приложение метода (5). Пусть дана вещественная симметрическая матрица размерности п×п. Нужно определить собственные числа этой матрицы, т. е. числа λ, для которых выполнено равенство

Чтобы сделать это, применяем конечное число раз ортого­нальные преобразования подобия

преобразующие, вообще говоря, неразреженную матрицу в матрицу , имеющую вид

Затем собственные числа матрицы (а тем самым и ма­трицы ) вычисляются как корни характеристического много­члена

матрицы . Значение р(λ) может быть найдено с помощью следующей рекуррентной формулы: