Дискретно-непрерывная математика (стр. 68 )

второй категории есть всякое структурное число второй катего­рии, замещающее число которого служит модулем сложения [ ] структурных чисел первой категории; а модуль умножения структурных чисел второй категории представляет собой всякое структурное число второй категории, замещающее число которого служит модулем умножения структурных чисел первой категории. При этом справедливы следующие соотношения:

(2.12)

(2.13) где— множество структурных чисел вида

(2.14)

(2.15)

5. Равенство

(2.16)

не имеет единственного решения для A1 и А2.

(2.17)

Структурное число второй категории элементы которого — дополнительные числа назовем дополнительным числом второй категории. Для дополнительных чисел второй категории при­меняем те же самые операции, что и для структурных чисел второй категории, поэтому приведенные выше определения и соот­ношения справедливы также и для дополнительных чисел второй категории

Если в числе 2А все элементы Aij заменить на их дополнитель­ные числа то получим дополнительное число второй катего­рии замещающее число которого Ad* в общем случае не равно дополнению Ad замещающего структурного числа А для числа 2А, т. e.

а следовательно,

6.9.1. Алгебраическая производная и обратная производная структурного числа второй категории

Алгебраическую производную и обратную производную опре­делим на основе понятий производной и обратной производной замещающего структурного числа.

Определение 2.3. Алгебраической (обратной) производной структурного числа второй категории 2А

по элементу α называется всякое структурное число второй кате­гории, замещающее число которого есть производная (обратная производная) замещающего числа А для числа 2А по элементу α. Это определение соответственно можно пред­ставить в виде соотношений

(2.18)

На основании правил для производной и обратной производ­ной суммы и произведения структурных чисел первой категории можно написать следующие соотношения для структурных чисел второй категории:

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Следовательно, обратная производная

— операция аддитивная и мультипликативная.

На основе этих соотношений можно определить алгебраиче­ские производную и обратную производную по элементу α любого структурного числа второй категории.

Пример 2.1.

Если, например, структурные числа A1 и А2 не содержат элемента α, то

По этим же правилам находятся алгебраическая производная и обратная производная дополняющих чисел второй категории.

Для определения алгебраической производной структурного числа второй категории 2А по элементу первой или второй категории принимаем следующие правила:

(2.23)

из которых следует

(2.24)

и

(2.25)

как естественное обобщение соотношения а также

(2.26)

где

Пример 2.2. Найдем алгебраическую производную структур­ного числа второй категории

по структурномучислу первой категории

Решение

6.10. Структурные числа k-й категории

Структурные числа k-й категории построим из структурных чисел (k — 1)-й категории подобно тому, как были построены структурные числа 2-й категории. В связи с этим введем следую­щее определение.

Определение 2.4. Структурным числом k-й категории kA назы­вается семейство множеств

(2.27)

где

— структурное число (k — 1)-й категории. Струк­турное число k -й категории можно также записать в виде

(2.28)

или

(2.29)

где элементы— структурные числа (k — 1)-й категории.

Введем понятие замещающего числа для структурного числа k-й категории.

Определение 2.5. Замещающим числом для структурного числа k-й категории kA называется структурное число первой катего­рии А, полученное применением операций алгебры структурных чисел над замещающими числами для структурных чисел (k — 1)-й категории, являющимися элементами числа kA:

(2.30)

где Aіj — замещающее число для Обозначим соотношение

соответствия замещающего числа А числу kA через

(2.31)

Для структурного числа k-й категории определим понятие равенства, а также операции сложения и умножения

(2.32)

Таким образом, соотношение представляет собой гомеоморфизм.

Для структурных чисел k-й категории справедливы следую­щие соотношения:

(2.33)

(2.34)

(2.35)

где есть симметричная разность, r — функция повторений, а п — натуральное число.

Формулы (2.32) можно обобщить на структурные числа разных

категорий

(2.36)

Подобно структурным числам второй категории, равенство чисел k-й категории рефлексивно, симметрично и транзитивно, операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения. Поэтому можно написать следующие соотношения:

Модуль сложения k[ ] = 0 структурных чисел k-й категории есть всякое структурное число k-й категории, замещающее число которого служит модулем сложения [ ] структурных чисел первой категории.