Дискретно-непрерывная математика (стр. 128 )

Теперь используем (1), чтобы построить метод, аналогичный методу (12 из микромодуля 37). Пусть— интервальный вектор, содержащий нуль функции Допустим еще, что — интервальная матрица, такая что для где определенаформулами (3 из микромодуля 36). Положим, как и раньше,

Рассмотрим теперь итерацию

(3)

Метод (3) заключается в одновременном исполнении (7 из микромодуля 36) и (1). Его главное отличие от итерации (12 из микромодуля 36) состоит в вычис­лении новой интервальной матрицыЗдесь исполняется только один шаг подходящего метода.

В методе (3) вычисляются последовательности интерваль­ных матриц и интервальных векторов

Докажем некоторые свойства этих последователь­ностей.

Теорема 2. Пусть — интервальный вектор, — нуль функции Пусть производная функции удовлетво­ряет условию Липшица при значении аргумента — ин­тервальная матрица, содержащая матрицы для всех Пусть, наконец, условие

выполнено при для вычисления в интервальной арифметике производной Фреше (Выполнение этого условия обеспечено, если любой элемент матрицы удовлетворяет условию (5' п. 7.3).)

Тогда интервальные векторы и интервальные матрицы вычисленные по формулам (3), удовлетворяют следующим условиям.

Каждый интервальный вектор содержит корень (4)

Если все матрицы невырождены, то (5)

Пусть — интервальная матрица,

первый столбец которой совпадает с интервальным вектором а остальные являются столбцами матрицыт. е.

Тогда

(6)

(см. приложение А, теорема 2).

Доказательство. Снова положим

(4): Точно так же, как в доказательстве соответствующего утверждения (8 из микромодуля 36) теоремы 1 из микромодуля 36, мы показываем, что В силуотсюда следует, что для верно

Поэтому с помощью (10 из микромодуля 29) получаем

Таким образом, мы имеем

Используя этот результат, мы показываем, что

и (4) получается методом математической индукции.

(5): Ввиду мы можем доказать равенство тем же методом, что и (9 из микромодуля 36).

Второе утверждение о сходимости следует из теоремы 1, так как

(6): Используем сокращение Из (3) с помощью

(6 из микромодуля 29), (7 из микромодуля 29), (9 из микромодуля 29) следует, что

Теперь возьмем абсолютные величины (определение 6 из микромодуля 29) и применим (15 из микромодуля 29), (27 из микромодуля 29) и соотно­шения

Теперь, используя монотонную векторную норму, подчинен­ную ей монотонную матричную норму, теорему об эквивалент­ности норм и соотношение получим

Из второго равенства в (3) аналогично получим, что

Снова возьмем абсолютные величины с учетом соотношений (15 из микромодуля 29), (27 из микромодуля 29) и

Используя монотонную матричную норму и теорему об экви­валентности норм, получим, что

Для введем норму

Полагая замечая, чтополагая

получаем из установленных выше неравенств, что

Если мы теперь положим

то получим, что

Теперь из теоремы 2 приложения А следует, что мы имеем не менее чем квадратичную сходимость последовательности

Микромодуль 39

Методы Ньютоновского типа для частных типов систем несинейных уравнений

Рассмотрим теперь ту же постановку задачи, что в двух предшествующих микромодулях, введя дополнительные предположения о рассматриваемых системах

Важно отметить, что не делается никаких предположений о выпуклости Производ­ная Фреше функциив точке обозначается через Используя естественный частичный порядок на множествеи на множестве состоящем из всехвещественных точечных матриц размерности п×п. сначала докажем общую теорему, а затем покажем, как ее можно при­менить к конкретным системам.

Теорема 1. Пусть отображение. имеет производную Фреше, а множество содержится в Пусть выполнено

(0)

Задано отображение

для которого верно

(1)

Задано непрерывное отображение

для которого верно

(2)

(3)