Дискретно-непрерывная математика (стр. 113 )

Пусть, кроме того,где

Положим по определению

Теперь мы можем доказать по индукции, что наши предпо­ложения о матрице и векторе верны на любом шаге алго­ритма. Как показано в лемме эти предположения справед­ливы для матрицы и интервального вектора Кроме того, из леммы 2 следует, что

Чтобы получить нуль для пары индексов, (где ) по матрице и вектору строятся матрица и векторсо­гласно следующим формулам:

Ввидуотсюда следует, что

и

Поэтому представление

справедливо также для матрицы и вектора

Из леммы 1 следует, что

Аналогично мы получаем

Для имеем Из допущения

получаем поэтому

Для имеем

и

откуда

т. е.

Этим завершается доказательство по индукции. Решение диагональной системы уравнений не увеличивает ширину элементов, поэтому соотношение

справедливо для заключительной диагональной матрицы и соответствующего интервального вектора

2. Прцедура Купермана и Хансена

Пусть — интервальная матрица, такая, что — невы­рожденная для всех и пусть

— множество всех решений для данного интервального вектора Даже простые примеры показывают, что метод Хансена, опи­санный в предыдущем пункте, вычисляет в общем случае лишь некоторое подмножество векгора имеющего компоненты

Куперман описал неинтервальную процедуру, кото­рая в некоторых случаях дает лучшую локализацию множества Впоследствии Хансен обобщил эту процедуру до интерваль­ного метода.

Рассмотрим множество линейных уравнений

где — неособенная точечная матрица и — вещественный вектор. Если частная производная неотрицательна

то — неубывающая функция от aij. Если теперь aij может изменяться в вещественном интервале

то величина xk, рассматриваемая как функция от aij на интер­вале принимает свое наименьшее значение при а наибольшее значение при То же самое можно сказать и о зависимости компонент xk от

Пусть теперь — данная вещественная интервальная матрица и — данный интервальный вектор. Чтобы

локализовать интервал

поступаем следующим образом.

Начинаем с вещественной интервальной матрицы

и вещественного интервального

вектора. Затем строим интер-

вальные матрицы

и интервальные векторы

согласно следующим правилам:

Теперь вычисляем локализующие интервалы

для интервалов

используя, например, метод Хансена, описанный в предыдущем пункте. Предыдущие рассуждения показывают, что для

имеет место

Отсюда следует, что верно

Поэтому имеем также

Для построения интервальных матриц и интервальных

векторов при фиксированном k нужны частные производные и . Формулы для них уже были полу-

чены в предыдущем пункте: полагая имеем

Чтобы выяснить распределение знаков этих производных, мы вычисляем, используя, например, метод Хансена, интерваль­ный вектор содержащий множество и интервальную матрицсодержащую обращения всех Если теперь нижняя граница интервала неотрицательна для не­которого фиксированного k, то для всех и Аналогично, если верхняя граница интервала неположительна, то . Соответствующее утверждение верно и для Если (соответственно то мы все еще можем иметь или ≤0 (соответственно