Дискретно-непрерывная математика (стр. 95 )

(19)

Для вещественных интервальных матриц A, B имеем (20) (21) (22)

Доказательство этих свойств проводится покомпонентно с использованием свойств I(R) из п.7.2 и свойств I(С) из п.7.5.

Мы заметим также, что соотношения (20)—(22) неверны для комплексных интервальных матриц. Рассмотрим, например, (21) для матрицы размерности 1×1 с элементами из R(C), т. е. интервал Утверждение А=(—1)А эквивалентно равенствам

для Используя (18 п.7.2), мы получаем для В =— В1 + iB2, что

С другой стороны, мы имеем

Эти два интервала различны в общем случае, например при В1=0. Так как соотношения (20)—(22) не потребуются нам для комплексных интервалов, не будем рассматривать случаев, в которых они справедливы.

Теперь введем понятие матрицы расстояний для пары интервальных матриц.

Определение 7. Пусть — интервальные ма-

трицы. Тогда вещественная неотрицательная матрица

называется матрицей расстояний или расстоянием между матрицами A и B.

Соотношения

очевидным образом справедливы для расстояний между интервальными матрицами вместе с соотношениями

(23) (24) (25)

Доказательства последних свойств проводятся покомпонентно с использованием соответствующих свойств І(R) (см. п.7.2) или І(С) (см. п.7.5). С помощью понятия расстояния между интервальными матрицами, введенного в определении 7 можно, используя монотонную норму матриц определить метрику на множестве интервальных матриц как Множество всех интервальных матриц размерности т×п можно также рассматривать как m∙n-крат-ное произведение полного метрического пространства І(С) на себя Известные теоремы топологии по­казывают, что это произведение снова является полным метри­ческим пространством. Сходимость в произведении пространств эквивалентна сходимости отдельных компонент. Поэтому спра­ведливы следующие утверждения.

Сходимость последовательностиинтервальных (26) матриц размерности т × п к матрице A , т. е. эквивалентна

Следствие 8. Любая последовательность интервальных матриц размерности т × п, для которой имеет место

сходится к интервальной матрице A =(Аij), где

Это утверждение следует из (26) определения 2 и утверждения об интервалах, аналогичного следствию (8).

Следствие 9. Операции, введенные в определении 3, непре­рывны.

Доказательство получается из того, что непрерывность опе­раций на элементах влечет за собой непрерывность операций в целом. В силу определения 3 и теорем 6 п.7.2, 6 п.7.5 элементы резуль­тата операции непрерывно зависят от операндов.

Следующее соотношение справедливо ввиду (21 п.7.2) и (17. п.7.4).

(27)

Теперь введем операцию пересечения на и таким же образом, как это было сделано в п.7.2

для элементов множества І(R) и в п.7.5 для элементов множе­ства R(C). Так как достаточно опре­делить эту операцию на Пусть

Тогда определяем пересечение A и B как тео­ретико-множественное пересечение

Пересечение двух интервальных матриц A и B принадлежит множеству тогда и только тогда, когда это теоретико-множественное пересечение непусто. В этом случае мы имеем

где строится согласно (23 п.7.2) (соответственно (19 п.7.5)).

Аналогично следствиям 12 п.7.2 и 7 п.7.5 получаем

Следствие 10. Пусть Тогда имеем

и пересечение, если оно не выводит за пределы является непрерывной операцией.

Как и в случае следствий 12 п.7.2 и 7 п.7.5 , утверждение следует из того, что непрерывность операций на элементах влечет за собой непрерывность операций в целом.

Чтобы обобщить понятие билинейности на операторы из в Vn(C), мы рассмотрим теперь трехмерные массивы с интервальными элементами. Множество всех таких массивов обозначается через Имеем

где

Равенство, включение и сложение определяются поэле­ментно, т. е. так же, как для интервальных матриц. Аналогично определяются ширина, расстояние и абсолютная величина. На­пример, определение

вводит билинейный оператор из Множество всех билинейных операторов из обозначается через .

Определение 11. Пусть

Тогда полагаем (а)

(b)

Вместо будем иногда писать

(с) Далее полагаем

где

Следующая теорема содержит некоторые соотношения, нуж­ные в дальнейшем.

Теорема 12. Пусть

Тогда

(а)

Если то

(b)

и

(с)

Доказательство.

(а) Пусть Тогда с помощью определения 11 и субдистрибутивности получаем

(b) Полагая и используя симметричность по x, получаем в обозначениях определения 11 (b), что

Поэтому