Дискретно-непрерывная математика (стр. 66 )

Кроме алгебраической производной, сформулируем для струк­турных чисел еще одно понятие (в известном смысле дуальное по отношению к производной) — понятие обратной алгебраиче­ской производной.

Алгебраической обратной производной структурного числа называется структурное число δА/δα, равное

(1.52)

Воспользовавшись способом записи структурного числа в виде семейства множеств, можно записать обратную производную как

(1.52а)

Для обратной алгебраической производной имеют место соот­ношения

(1.53)

справедливые для произвольных чисел A1 и А2.

Кроме того,

(1.53а)

Для одноэлементного структурного числа имеем

(1.54)

Соотношение алгебраических производной и обратной производ­ной можно записать следующим образом:

(1.53б)

Алгебраическую обратную будем обозначать как

(1.55)

Пример 1.9. Расчет алгебраической обратной производной:

Алгебраическая обратная производная имеет простую геометриче­скую интерпретацию.

Свойство 2. Геометрическое изображение структурного числа δА/δα представляет собой геометрическое изображение числа А, в котором ребро отключено в одной вершине и замкнуто в петлю. Обратное геометрическое изображение структурного числа δА/δα представляет собой обратное изображение геометрического числа А с замкнутым ребром α. Правильность этого свойства следует из определений изображения, обратного изображения структур­ного числа и обратной производной.

Вследствие простых соотношений между алгебраическими дей-ствиями, выраженными через операции производной и обратной производной, и действиями на графе, который является геоме­трической интерпретацией структурного числа, эти операции особенно важны в применениях алгебры структурных чисел, например, к анализу электрических цепей.

Отметим, что для структурного числа А всегда имеет место соотношение

(2.56)

где α — элемент числа А.

6.6. Детерминантная функция структурного числа

Аналогично с матричным исчислением на множестве струк­турных чисел можно определить различные функции, например детерминантную функцию.

Определение 1.9. Детерминантной функцией структурного числа А называется функция

(1.57)

где Z — заданное множество комплексных чисел , т. е. Z.

Определение этой функции весьма просто. Нужно пере­множить комплексные числа, поставленные в соответствие индек­сам столбцов, и просуммировать полученные выражения, соот­ветствующие столбцам.

Эта функция может быть кратко названа определителем или детерминантом структурного числа.

По аналогии с теорией матриц для ее обозначения используем также символ

(1.58)

Пример 1.10. Нахождение определителя.

Вычислить определитель числа по отношению к комплексным числам

Очевидно, что раскрытие определителя матрицы немного сложнее, чем раскрытие определителя структурного числа. Определитель структурного числа имеет следующие свойства:

6.7. Функция совпадения структурного числа

Кроме ранее введенных операций сложения и умножения структурных чисел, определим еще одну операцию — конъюнкцию.

Определение 1.10. Конъюнкцией А∩ В структурных чисел А и В называется структурное число, содержащее общие столбцы чисел А и В и не содержащее других столбцов.

Пример 1.11.

Определим на множестве структурных чисел еще одну функ­цию, важную для применения алгебры структурных чисел,— функцию совпадения и обозначим

Функция совпадения равна

(1.59)

Очевидно, имеется в виду случай А ∩В ≠ 0.

Формула (1.59) дает общее определение функции совпадения, однако в прикладном значении этой функции наиболее важна частная форма записи функции совпадения: эта функция относится к структурному числу А, геометрическое обратное изображе­ние которого содержит два ориентированных ребра α и β.

Определение 1.11. Функцией совпадения

(1.60)

структурного числа А, обратное геометрическое изображение которого имеет два ориентированных ребра α и β, называется функция, обладающая следующими свойствами:

1) функция (1.60) — линейная комбинация выражений, имею­щихся в определителях

2) если исключить из обратного изображения ребра, опре­деленные данным выражением, получим цикл, в котором ребра α и β

ориентированы согласно или встречно, то слагаемое имеет соответственно коэффициент +1 или —1 (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пояснение оп­ределения функции совпа­дения.

Функцию совпадения (1.60) можно в таком случае записать

(1.61)

Рис. 1.3.

Пример 1.12. Определить функции совпадения структурного числа А, обратное изображение которого есть граф

изображенный на рис. 1.3 (α = 1, β = 7).

Решение. Структурное число определим по выраже­нию (1.13) как произведение простых чисел, соответствующих всем независимым контурам обратного изображения.

Имеем

Далее определим алгебраические производные

Столбцы, общие для dA/d1 и дА/д7, взяты в рамки.

При рассмотрении графа на рис. 1.3 легко заметить, что при исключении ребер 5 2 6, 5 3 6, 5 8 3, 5 8 6 граф сводится к графу с одним контуром, в котором ребра α = 1 и β = 7 ориентированы согласно. С другой стороны, при исключении из графа ребер 2 3 4 в полученном контуре ребра 1 и 7 ориентированы встречно.

Поэтому выраженияимеют знак плюс,

z2z3z4 — знак минус.

Окончательно получим

Можно также обосновать свойство, согласно которому при исключении из обратного изображения структурного числа ребер, определенных столбцами граф всегда сводится

к такому графу, у которого цикломатическое число т = 1. Опре­деление ориентации ребер α и β по отношению друг к другу не встречает трудностей. Не каждый граф отображает электрическую цепь, в которой не могут присутствовать лишние элементы (обесточенные или на которых нет напряжения). Для определения класса графов, с которыми имют дело при анализе электрических цепей, введем общее определение соответственного или сильно связ­ного графа.

Определение 1.12. Граф называется соответственным, если каждые две его вершины принадлежат хотя бы одному элемен­тарному контуру.

Для соответственного графа справедливо следующее свойство.

Свойство 3. Граф (мультиграф) будет соответственным тогда и только тогда, когда он служит обратным изображением струк­турного числа А, удовлетворяющего условию

(1.62)

Справедливость этого свойства следует из определения функции совпадения, согласно которомустолбцы

соответствуют ребрам, исключение которых приводит к упроще­нию графа обратного изображения к одному циклу с ребрами α и β.

На рис. 1.4 показано несколько графов, из которых только один граф соответственный. Если применить условие (1.62), например к графу, показанному на рис. 1.4, б, получим