Дискретно-непрерывная математика (стр. 111 )

матрицы меньше единицы. Мы хотим показать, что при этом условия теоремы 3 всегда выполнены для матрицы где — единичная матрица.

Имеем

Из следует, что

Матрица введенная в теореме 3 имеет для

элементы

Мы рассмотрим теперь вещественную матрицу

Ввиду обратная матрица сущест-

вует в силу известной теоремы, причем Рассмотрим теперь представление матрицы в виде

где

Имеем Отсюда в силу известной теоремы следует, что

Рассмотрим, наконец, представление матрицы в виде

где

Имеем

откуда

Отсюда и изследует, что

Теперь теорема Перрона-Фробениуса да­ет

Применяя известную теорему, мы получаем, наконец, что является М-матрицей.

Замечания. Утверждения о применимости метода Гаусса (тео­рема 3) можно найти в литературе. Доказательство теоремы 3 — это непосредственное обобщение доказательства таких же утверж­дений для точечных матриц. Пусть матрица — транспонированная для интервальной матрицы Мы имеем утверждение, соответствующее следствию 5. Если имеет сильно доминирующую диагональ (в смысле определения 4), то метод Гаусса может быть выполнен для интервальной матрицы без перестановок строк. Доказательство получается ссылкой на теорему 3, так как введенная там матрица снова оказы­вается М-матрицей. Аналогичное утверждение справедливо для трехдиагональной матрицы , если для выполнены условия теоремы 6.

Только что доказанные утверждения будут далее исполь­зованы для решения систем нелинейных точечных уравнений.

Вопрос о применимости метода Гаусса не был пока что достаточно исследован удовлетворительным образом. В литературе было пока­зано, что этот метод применим для частного класса уравнений.

Микромодуль 35

Метод и процедура Хансена

1. Метод Хансена

Если в системе линейных интервальных уравнений диагональ не является сильно доминирующей (определение 4 из микромодуля 34), то ее можно решать с помощью преобразования, предложенного Хансеном. Цель этого преобразования — сделать данную систему интервальных уравнений системой с сильно доминирующей диагональю. Пусть дана интервальная матрица где — элементы из І(R) или К(С). Будем предпо­лагать, что существуют обращения всех точечных матриц Берем обращение точечной матрицыи с помощью строим интервальную матрицу

и интервальный вектор

Имеем

Чтобы показать это, предположим, чтопринадлежит мно­жеству из левой части, т. е

Тогда

и наше утверждение следует из

Идея рассматриваемого преобразования состоит в том, что если элементы матрицы имеют не слишком большую ширину, то диагональ матрицы будет сильно доминирующей. Тогда можно применить метод Гаусса. В пределе мы имеем т. е. так что в этом случае матрица наверняка имеет сильно доминирующую диагональ. Если же ширина ком­понент матрицыневелика, то несильно отличается от

Ясно, что сильное доминирование диагонали для матрицы зависит не только от ширины компонент ма­трицы Действительно, если мы представим компоненты этой интервальной матрицы (которые могут быть круговыми комп­лексными или вещественными интервалами) в виде

то, вводя еще матрицу

получим, что

где

Так как

то мы видим, что при данной точечной матрицедиагональ матрицыбудет сильно доминировать с тем большей ве­роятностью, чем меньше число

Если — вещественная точечная матрица и мы используем монотонную матричную норму, то

где—хорошо известная величина, обусловленность матрицы Поэтому применимость метода Хансена к вещественной интервальной матрице зависит не только от величины но (даже более существенным образом) и от обусловленности матрицы

В предыдущем микромодуле мы описали метод преобразования мно­жества линейных интервальных уравнений к верхней треуголь­ной форме. Другие методы, разработанные в теории веществен­ных систем линейных уравнений, также могут быть обобщены на линейные системы интервальных уравнений. Мы упомянем метод Гаусса — Жордана, которым данная матрица приводится к диагональному виду. После этого вычисление решения исход­ной системы требует еще п добавочных делений. Подробное опи­сание этого варианта алгоритма Гаусса можно найти в литературе. Тем же методом, что и в теореме 3 из микромодуля 34, можно показать, чго этот метод всегда применим к данной системе линейных интерваль­ных уравнений, если ее матрица имеет сильно доминирующую диагональ.