Дискретно-непрерывная математика (стр. 127 )

(ii) Метод (35) определен для всех k ≥ 0. Тогда верно равенство Если теперьто невозможно сказать что-либо о наличии или отсутствии нуля. Если же

то — нуль функцииЭто получается из (35) переходом к пределу при

Условиеоказывается достаточным для того, чтобы имело место (i) или (ii) с Если это условие выполнено, то те же рассуждения, что и в случае более сильного условия показывают, что для всех k≥0, для которых верно неравенство Если не имеет корней в то пересечение станет пустым для некоторого k ≥ 0, так как иначе равенство противоречило бы равенству Если жеимеет корень то так же, как при условии мы покажем, что пересечение непусто при любом k≥0, а потому верно

Локализация решений системы линейных уравнений, напри­мер системы вида (6), используется в методах (7) и (12). Такую локализацию можно в принципе найти с помощью метода Гаусса. Такой метод наверняка будет сходиться, если ширина векторадостаточно мала. Пока не найдено проверяе­мых условий, гарантирующих сходимость. Было бы чрезвычайно полезно иметь такие критерии, так как это позволило бы избе­жать обращения матриц и применения итерации (10). Тогда можно было бы проводить итерационную локализацию решения с разумными вычислительными затратами. Хотя в (14) приходится применять метод Гаусса и делать шаг (d), эта процедура все же намного дешевле в смысле объема вычисле­ний, чем другие методы, рассмотренные в этом микромодуле. Важно и то, что в теореме 7 нет ограничений на величину или ширину вектора . Поэтому утверждение о сходимости в теореме 7 дает практически глобальную сходимость. Численный пример применения метода (14) показывает важность этого утвержде­ния. Хорошо известно, что решение дискретизированной гранич­ной задачи методом Ньютона не представляет проблем, когда функция f(t, у) выпукла по у. Однако в невыпуклом случае схо­димость удается доказать лишь для начальных значений, доста­точно близких к решению. Для метода (14) не нужно никаких условий выпуклости.

В микромодуле 39 рассматривается метод, который также решает упомянутую дискретизированную граничную задачу, но не использует метода Гаусса. Однако там для достижения ква­дратичной сходимости требуется на каждом шаге не только интервальное вычисление производной, но и два вычисления зна­чений самой функции.

Применение метода Гаусса для локализации множества ре­шений системы (4) или (6) приводит к алгоритму

(36)

Здесь означает отображение, определяемое методом Гаусса.

Микромодуль 38

Методы Ньютоновского типа не использующие обращения матриц

В предыдущем мукромодуле было показано, что итерация (12 из микромодуля 37) сходится по ширине последовательных приближений не хуже, чем квадратично. На каждом шаге приходится обращать веще­ственную матрицу и производить вычисления по фор­мулам (10 из микромодуля 37), пока там не будет достигнута неподвижная точка. Теперь мы изменим (12 из микромодуля 37) так, что будет выполняться всего один шаг итерационного нахождения локализации V (k) для множества Напомним, что в (12 из микромодуля 37) при­ходится проводить итерацию (10 из микромодуля 37). Мы выберем новый метод итерационной локализации обращения интервальной матрицы. Он будет обобщением на интервальные матрицы алгоритма (9 из микромодуля 36) при r = 2.

Теорема 1. Пусть даны вещественная невырожденная матрица и последовательность интервальных матриц для

которой . Пусть — интервальная матрица, для которойДля итерационного метода

(1)

uдеопределено в (1 из микромодуля 37), верно следующее;

(2а)

Если любая матрицаневырожденная, то

(2b)

Доказательство. (2а): По условию имеем

Отсюда и из (10' из микромодуля 29) следует, что

Доказательство завершается методом математической ин­дукции. (2b): Монотонно убывающая последовательность матриц

сходится к некоторой интервальной матрице. В силу непрерывной зависимости центраимеем

Отсюда и из непрерывности операций, входящих в (1), сле­дует, что

и потому

Обозначим j-й столбец матрицычерез

В силу (1 из микромодуля 29) мы получаем представление

с матрицейОтсюда следует, что

Матрицы невырожденные по условию, поэтому,

используя

мы получаем

что доказывает равенство Но отсюда следует

равенство что и завершает доказательство теоремы.

Итерационный метод (9 из микромодуля 36) при r = 2 получается теперь как частный случай ппиЕсли мы предположим, что последовательностьв (1) удовлетворяет условию

то аналогично (2а) получим, что из включения

всегда следует

Если теперь выбратьто мы получим из (1) метод

итерационной локализации обратной матрицы. Аналогичный ите­рационный метод был рассмотрен в (10 из микромодуля 37).