Дискретно-непрерывная математика (стр. 40 )

Теорема 2. (Принцип зеркального отображения). Пусть А =(а; α),

В =(b; β) — точки с челочисленными координатами, причем b > а ≥ 0, α> 0, β> 0, а А' = (а; -α) — точка, симметричная А относительно оси ОХ. Тогда число тех траекторий из А в В, которые пересекают ось ОХ или имеют с ней общую точку, равно числу траекторий из А' в В.

Доказательство. Каждой траектории Т из А в В, пересекающей ось ОХ или имеющей с ней общую точку, поставим в соответствие траекторию из А' в В по следующему правилу (рис. 5.10): берем участок траектории Т до первой точке встречи с осью ОХ и симметрично отображаем его относительно оси ОХ, а далее траектории Т и Т' совпадают. Таким образом, каждой траектории Т из А в В, пересекающей ось ОХ, соответствует определенная траектория Т' из А' в В.

Рис. 5.10

Наоборот, каждой траектории из А' в В соответствует одна и только одна траектория из А в В, пересекающая ось ОХ (берем участок траектории из А' в В до первой встрече с осью ОХ и симметрично отображаем его относительно оси ОХ). Следовательно, между множеством траекторий из А в В, пересекающих ось ОХ или имеющих с ней общую точку, и множеством всех траекторий из А' в В установленно взаимно однозначное соответствие. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть х > 0, у > 0. Тогда число траекторий из О в

(х; у), не имеющих вершин на оси ОХ (кроме точки О), равно

Доказательство. Все траектории, которые соединяют точку О с точкой (х; у) и не пересекающие ось ОХ, проходят через точку А = (1;1) (рис. 5.11).

Рис. 5.11

Общее число траекторий, которые ведут из А в В, равно Nx-1,у-1. Общее число траекторий, которые ведут из А в В и пересекающих ось ОХ, равно, согласно теореме 2, числу траекторий, которые ведут из А' в В, т. е. Nx-1,у+1. Следовательно, искомое число траекторий равно

Теорема доказана.

Установим теперь несколько свойств траекторий, которые соединяют точку О точкой (2п; 0) на оси ОХ. Пусть

Теорема 4. Среди Сп2п траекторий, соединяющих точку О с точкой (2п; 0), существует

а) ровно L2n-2 траекторий, лежащих выше оси ОХ и не имеющих общих точек с ОХ, кроме точек О и (2п;0);

б) ровно L2n траекторий, не имеющих вершин ниже оси ОХ.

Доказательство. а) Все траектории, которые соединяют О с (2п;0), лежащие выше оси ОХ и которые не имеют других общих точек с осью ОХ, обязательно проходят через точку (2п— 1, 1). Согласно теореме 3 число траекторий, которые соединяют О с (2п— 1; 1) и не пересекают ось ОХ, равно

б) Рассмотрим траекторию, которая соединяет О с М(2п; 0) и не имеющую вершин ниже оси ОХ (рис. 5.12).

Рис. 5.12

Добавим еще один отрезок, который соединяет О с O1(—1;—1). Примем O1 за новое начало системы координат X1O1Y1. В новой системе точка М имеет координаты (2п+1; 1), а точка О — координаты (1; 1). Число траекторий, которые соединяют точку О с точкой М и которые не имеют вершин ниже оси ОХ, равно числу траекторий, которые соединяют O1 с М и которые лежат выше оси O1X1. Последнее число в силу теоремы 3 равно

Теорема доказана.

Рассмотрим пример применения доказанных выше теорем.

Задача 3. Решим задачу, рассмотренную выше (задача 1), допуская, что перед началом работы в кассе имеется р монет стоимостью 50 коп.

Очевидно, задача сводится к подсчету числа траекторий из точки О в точку ( т+п; п — т), которые не пересекают прямую у =—(р+1). Согласно теореме 2 число тех траекторий, которые пересекают эту прямую, равно числу траекторий из точки (0; -2(р+1)) в точку (п+т; п-т), т. е.

Искомое число траекторий равно

Микромодуль 17

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Рассмотрим ряд

Имеем

Видим, что . Таким образом,

Пример 2. Рассмотрим ряд

(1)

Имеем нерравенство

которое показывает, что . Таким образом, ряд (1) расходится.

Пример 3. Рассмотрим ряд

(2)

Нетрудно убедиться в том, что

Следовательно, не существует, и ряд (2) расходится.

Пример 4. (Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.) В курсе алгебры при изучении геометрической прогрессии рассматривается ряд

(3)

Выясним, при каких х этот ряд сходится, и вычислим его сумму. По формуле суммы членов геометрической прогрессии

(при х≠1). Если | х | <1, то и . Если же

|х|>1, то , не существует, и ряд (3) расходится. Ряд (3) расходится также при х = — 1 (пример 3) и при х — 1 (в последнем случае sп = п и ).

Следовательно, ряд (3) сходится при |х|<1, и в этом случае (4)

Пример 5. (Биномиальный ряд Ньютона.) В курсах математического анализа с помощью методов дифференциального исчисления выводится следующая формула, которая была открыта впервые Ньютоном:

(5)

Формула имеет место при | х | < 1. Если а = п — натуральное число, то все слагаемые в правой части равенства (5), начиная с (п + 2)-го, равные 0, так как все они содержат множитель (п — п). Формула (5) в этом случае обращается в биномиальную формулу, которую мы установили выше. При α = -1 формула (5) принимает вид

(6)

Эта формула вытекает с (4) (довольно заменить в (4) х на -х). Доказывать формулу (5) в общем случае не будем, а установим ее ниже лишь для целых отрицательных α.

Пример 6. (Степенные ряды.) Ряд вида

а0 + ахх + а2х2 + ... + аkхk+ ... (7)

называется степенным. Ряды (4.), (5), (6) являются примерами степенных рядов. В курсах математического анализа доказываются следующие важные свойства степенных рядов:

1) Областью сходимости (т. е. множеством тех х, при которых ряд сходится) является множество вида {х: |х| < с}, к которому могут иногда принадлежать точки х = -с и х = с или одна из этих точек.

2) Степенные ряды можно перемножать, собирая коэффициенты при одинаковых степенях х так, как это делается при умножении многочленов.

3) Если два степенных ряда имеют одинаковую сумму при всех х из области сходимости этих рядов, то коэффициенты при соответствующих степенях х этих рядов равны.

Пример 7. Выведем формулу

(8)

(при |х| < 1), которая является частным случаем биномиальной формулы (8).

Воспользуемся методом полной математической индукции. При п=1 формула (8) имеет место (формула (4)). Предположим, что (8) имеет место. Тогда