Дискретно-непрерывная математика (стр. 69 )

Модуль умножения структурных чисел k-й категории

есть всякое структурное число k-й категории, замещающее число которого служит модулем умножения структурных чисел

первой категории.

Из этого вытекают следующие соотношения и соответствия:

(2.37)

(2.38)

где — множество структурных чисел k-й категории

(2.39)

(2.40)

(2.41)

не имеет единственного решения.

(2.42)

Если элементы структурного числа k-й категории kAd являют­ся дополнительными числами (k — 1)-й категории

(2.43)

то число Ad называется дополнительным структурным числом k-й категории или, короче, дополнительным числом k-й кате­гории.

Для дополнительных чисел k-й категории справедливы те же операции, что и для структурных чисел k-й категории.

6.10.1. Алгебраическая производная и обратная производная структурного числа k-й категории

Подобно структурным числам второй категории, определим алгебраическую производную и обратную производную струк­турного числа k-й категории с помощью понятий производной и обратной производной замещающего числа.

Определение 2.6. Алгебраической производной (обратной про­изводной) структурного числа k-й катего­рии kA по элементу α называется всякое структурное число k-й категории, замещающее число которогоесть алгебраическая производная (обратная производная) замещающего числа А для структурного числа kА по элементу α. Это опре­деление можно представить в виде следующих соотношений:

(2.44)

На основании правил для производной и обратной производ­ной суммы и произведения структурных чисел первой категории можно записать следующие соотношения для структурных чисел k-й категории:

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

Из правил (2.23) для алгебраической производной структур­ных чисел по сумме и произведению одноэлементных структурных чисел имеем

(2.49)

(2.50)

(2.51)

Эти зависимости представляют собой обобщения формул (2.24) и (2.25). Обобщения формул (2.19) и (2.20) в виде

(2.52)

(2.53)

также справедливы.

Пример 2 3.

6.10.2. Геометрическое изображение структурного числа k-й категории

Обозначим класс подобных графов, представляющих собой геометрическое изображение структурного числа первой катего­рии А, определенного на конечном множестве элементов αij, и — функцию гомеоморфного преобразования

(2.54)

Пусть А — множество всех равных структурных чисел кате­гории k> 1.

(2.55)

Преобразование класса подобных графов в множество А структурных чисел определим как

(2.56)

Это означает, что геометрическое изображение структурного числа k-й категории kА есть граф, представляющий собой изобра­жение замещающего структурного числаа также что данный граф служит изображением и всех других чисел кате­гории k>1, которые имеют то же самое замещающее число.

Известно, что преобразование пространства конечных струк­турных чисел первой категории в пространство конечных графов не является непрерывной функцией, поэтому не каждое струк­турное число k-й. категории имеет геометрическое изображение. Очевидно, для существования геометрического изображения структурного числа k-й категории необходимо и достаточно суще­ствование геометрического изображения его замещающего числа

Для существования геометрического изображения структур­ного числа недостаточно существования изображений его эле­ментов. Например, структурное число второй категории

не имеет геометрического изображения, несмотря на то что все его элементы обладают такими изображениями, так как его заме­щающее число

не имеет изображения. Наоборот, структурное число второй категории

обладает геометрическим изображением, так как его замещающее число

имеет изображение, хотя оба его элемента таких изображений не имеют. С практической точки зрения интересны структурные числа k-й категории kА, имеющие геометрическое изображение и построенные из структурных чисел, которые также имеют гео­метрическое изображение. В этом случае геометрическое изобра­жение числа kА может рассматриваться как иерархическое изо­бражение, состоящее из подызображений, которые в свою оче­редь тоже могут быть иерархическими изображениями.

6.11. Полные структурные числа

Структурные числа второй или высшей категорий можно привести к замещающим структурным числам первой кате­гории, применяя операции алгебры структурных чисел над их элементами. При этом должны быть известны структурные числа блоков графа, т. е. их структура. Однако в практических при­менениях, например при анализе или синтезе электрических схем, не всегда возможно или необходимо знать структуру блоков графа. Иногда удобно рассматривать блок-схему цепи, не углубляясь в структуру отдельных ее блоков, называемых многополюсниками. Например, эти многополюсники могут представлять собой «черные ящики» с выделенными полюсами (зажимами), в которых могут находиться неизвестные электрические цепи с индуктивными или емкостными связями, с распределенными или сосредоточенными параметрами и т. д. В таком случае достаточно измерить входные величины многополюсника, например напряжения на его зажи­мах или входные импедансы, или задать эти величины при иссле­довании системы. При определении структурного числа блок-графа по правилам рассматриваемой ранее алгебры структурных чисел необходимо иметь сведения о структуре отдельных блоков графа. Эти сведения не нужны, если применить видоизмененную алгебру, основанную на операциях, подобных операциям обычной алгебры, элементы которой назовем полными структурными числами. Прин­ципы этой алгебры будут изложены ниже.

Неупорядоченный набор элементов х, не обязательно различ­ных, удовлетворяющих некоторой функции Ф (х), обозначим

(2.57)

Через rх (х) обозначим число, определяющее, сколько раз эле­мент х встречается в системе X. Рассмотрим две системы X и Y:

(а)

Обозначим

(2.58)

Две системы вида (а) будем считать равными, если

(2.59)

Суммой систем X и Y вида (а) назовем систему, содержащую все элементы обеих этих систем: