Дискретно-непрерывная математика (стр. 70 )

(2.60)

Пересечением систем X и Y вида (а) назовем систему, опре­деляемую следующим образом:

(2.61)

Введем определение полного структурного числа.

пределение. Полным структурным числом A называется неупорядоченная система наборов вида (а)

(2.62)

где N — множество натуральных чисел при следующих условиях:

(2.63)

Из этого определения следуют известные соотношения элемен­тарной алгебры.

(2.64)

Нетрудно заметить, что модулем сложения полных структур­ных чисел служит число которое представляет собой пустую систему, а модулем умножения — число содержащее одно и только одно пустое число а. Для произвольного числа A

(2.65)

В соответствии с этим число обозначим через 0, а число — через 1:

(2.66)

Уравнение

(2.67)

имеет решение

(2,68)

Число — будем называть отрицательным полным структур­ным числом.

Разность чисел определяем как операцию, обратную

по отношению к сложению, т. е.

(2.69)

Эту разность можно отыскать, если исключить из числа A все системы а, равные системам b числа

Следствие. Разность полных структурных чисел существует тогда и только тогда, когда

В противном случае разность двух структурных чисел может быть лишь упрощена путем вычитания из обоих чисел разности их пересечения

Выражение в общем случае имеет следующие свойства:

(2,70)

Если обозначить

(2.71)

(2.72)

где N — произвольное натуральное число, легко заметить, что для двух произвольных натуральных чисел N и М справедливы следующие соотношения:

(2.73)

а также

(2.74)

Допустим, что полное структурное число можно представить в виде произведения

(2.75)

Числа назовем делителями числа . Полное

структурное число P имеющее только два делителя 1 и P назо­вем простым полным структурным числом. Заметим, что каждое полное структурное число P, представляющее собой систему одноэлементных наборов, имеет только два делителя: 1 и P, т. е. будет простым полным структурным числом.

Делители, представляющие собой простые полные структур­ные числа, будем называть простыми сомножителями числа .

Если для двух данных полных структурных чисел и P существует такое полное структурное число X , что

(2.76.)

то можно написать

(2.77)

т. е.

(2.78)

Условием существования частного X , кроме, будет

требование, чтобы множество простых сомножителей числа P было подмножеством простых сомножителей числа , т. е.

(2.79)

где

Введем следующее обобщение.

Пару чисел будем записывать в виде,если

(2.80)

Для полных структурных чисел справедливы тождества

(2.81)

В соответствии с определением (2.62) полное структурное число можно также записать в виде таблицы

(2.82)

и рассматривать как неупорядоченную систему столбцов аk (не обязательно различных), состоящих из неупорядоченных элемен­тов (также не обязательно различных)

(2.83)

Равенство, а также способ получения суммы и произведения полных структурных чисел, записанных в виде таблицы, иллю­стрируют следующие примеры':

Заметим, что для полных структурных чисел справедлива следующая теорема.

Теорема. Полное структурное число можно всегда записать в канонической форме

(2.84)

Действительно, согласно принятым определениям операций, имеем

Обозначая

(2.85)

формулу (2.84) можно записать в виде

(2.86)

Выражение aik в формуле (2.85) назовем полной структурной единицей.

Если полное структурное число A имеет все столбцы, такие же, как структурное число А, то можно написать

(2.87)

Это равенство симметрично, т. е.

(2.88)

и, кроме того, имеют место следующие зависимости:

(2.89)

Применяя соотношение

и предполагая, что запишем в случае необходимости

структурное число А графа Г в виде полного структурного чис­ла A.

Определим алгебраическую производную полного структур­ного числа A по элементу α.

Определение. Алгебраическая производная полного струк­турного числа

по элементу α представляет собой полное структурное число определенное следующим образом:

(2.90)

Алгебраическая производная полного структурного числа по эле­менту α находится по правилам дифференцирования алгебраиче­ских многочленов. Эту производную можно также рассчитать путем дифференцирования полного структурного числа, записан­ного в канонической форме (2.84) или (2.86).

Пример.

Очевидно, еслито

(2.91)

Для алгебраической производной суммы, произведения и част­ного полных структурных чисел справедливы те же соотношения, что и при дифференцировании алгебраических многочленов, а именно