Дискретно-непрерывная математика (стр. 96 )

(с) Используя соотношения из п. (b), получаем

т. е.

Модуль 9

Интервальная арифметика для решения систем уравнений

Микромодуль 30

Итерационная локализация неподвижной точки для систем нелинейных уравнений

Рассмотоим теперь функцию f(хp) от векторной переменной

принимающую значения в С. Бу­дем предполагать, что функция f построена при помощи основ­ных арифметических операций, а также стандартных функций синус, косинус и т. д. Это означает, что ее можно вычислять и как интервальную функцию Предположим еще, что функция f зависит от т параметров . Таким образом, мы можем записать f в виде

Пусть теперь заданы п функции такого вида

Тогда соотношение

определяет отображение иза соотношение

определяет отображение на множестве п-компонентных интер­вальных векторов

Ниже будет использоваться интервальная арифме­тика для локализации решений системы уравнений

где

и

в предположении, что параметры aij независимо изменяются в некоторых комплексных интервалах.

Много возможностей дня решения этой задачи дает метод итераций. Заметим, что данное уравнение всегда может быть преобразовано к виду

Вычисление правой части этого уравнения для произвольного интервального вектора x(0) дает интервальный вектор x(1). Про­должая в том же духе, получаем метод итераций

Bозникают следующие вопросы, (а) Когда су­ществует последовательность (b) Когда эта последоватетьность сходится? (с) Когда предел х* единствен? (d) Какое отношение имеет предел х* к решению сформулированной выше задачи?

Сначала докажем теорему о неподвижной точке, опирающуюся на моноточность интервального оценивания функций относительно включения.

Теорема 1. Пусть дано отображение

причем функции fi(xр) имеют указанный выше вид. Рассмотрим метод итераций в заданный соотношением

и удовлетворяющий условию

Тогда имеет место следующее.

(1) Последовательность результатов итерациисходится к пределу x, такому что

(2) Любой вектор удовлетворяющий уравнению xр=fр (xр), содержится в х, т. е имеет место

{ xр| xрx(0), xр= fр(x)}x.

Доказательство. (1) По предположению имеем Так как интервальные вычисления монотонны относительно включения, мы получаем

С помощью математической индукции можно показать, что

Из следствия 8 микромодуля 29 вытекает, что эта последовательность схо­дится к некоторому элементу Из непрерывности интервальных оценок следует, что

(2). Пусть

Из монотонности интервальных операций относительно вклю­чения снова следует, что

и по индукции получаем

откуда следует, что

Условия теоремы 1 гарантируют существование неподвижной точки, но не ее единственность. Это показывает следующий при­мер.

Пример. Рассмотрим уравнение

в R(C ) .Очевидно, что этому уравнению удовлетворяют следую­щие элементы R(C):

Докажем теперь другую теорему о неподвижной точке, имеющую несколько иные условия и использующую несколько иной итерационный процесс.

Теорема 2. Пусть задано отображение

с функциямиуказанного выше вида.

Рассмотрим итерационный процесс

в Предположим, что существует элемент

удовлетворяющий уравнению Тогда верно следующее.

(3) Последовательные приближения удовлетворяют условию причем

(4) Любой вектор удовлетворяющий уравнению

содержитсяв х, т, е.

Доказательство. Рассуждением, аналогичным доказатель­ству теоремы 1, из мы получаем соотношени

Применяя индукцию, получаемх(k) k ≥0. Так как пересечение здесь всегда непусто, мы получаем последовательность интервалов

которая в силу следствия 8 микромодуль 29 сходится к некоторому пределу х. Ввиду непрерывности интервальных вычислений и пересечений мы имеем для этого предела, а такжедля всех

По поводу единственности неподвижной точки в теореме 2 можно сказать то же самое, что и в случае теоремы 1. Приведем теперь две теоремы о не­подвижной точке, которые будут применены в дальнейшем к двум конкретным итерационным процедурам. В отличие от тео­рем 1 и 2, имеющих довольно общий характер, эти новые тео­ремы обеспечивают единственность неподвижной точки. Сна­чала введем одно понятие.

Определение 3. Пусть

— отображение указанного выше вида. fр называется-cжатием, если существует неотрицательная матрица , такая что

где

Здесь ρ обозначает спектральный радиус матрицыa q обозначает расстояние между двумя интервальными векторами, определенное в микромодулe 29. Докажем следующее утверждение.

Теорема 4. Если есть -сжатие, то урaвнение имеет единственную неподвижную точку При этом для любого итерации