Дискретно-непрерывная математика (стр. 131 )

а ввиду следует, что

Это указывает еще одного возможного кандидата на роль

Условие (17) будет выполнено, если производные отображе­ний gi удовлетворяют условию Липшица. Тогда выполнено и условие (18). Действительно, для

и

очевидным образом выполнено соотношение

Если положим теперь

то из монотонности включения следует, что

Теперь из теоремы 5 п.7.3 следует, что

Поэтому получаем

для матрицыоткуда

следует (18).

Системы нелинейных уравнений вида (26) получаются при численном решении граничных задач вида

Применение метода конечных разностей к такой системе дает п уравнений

где Числа хі — приближения к y(tі). Приполучается

стандартный метод конечных разностей. При

получается эрмитовский метод. Вводя обозна­чения

и полагая можно записать эти п уравнений в виде

Из предположениядляследует, что

удовлетворяет всем условиям, наложенным на системы вида (26). В случае эрмитовского метода нужно еще выбрать h до­статочно малым.

Мы рассмотрим в качестве конкретного примера граничную задачу

Так какменяет знак, то очевидно, что дискретизированная задача не является выпуклой на всем про­странстве Последовательные приближения к величине

для п=5, 25, 51 и 101 приведены в табл. 1 для обычного метода конечных разностей и в табл. 2 для эрмитовского метода.

При этих значениях для эрмитовского ме­тода имеет место

Микромодуль 40

Полношаговые и короткошаговые методы Ньютоновского типа

В этом микромодуле рассмотрим итерационные методы локали­зации решений вещественных систем нелинейных уравнений, где не требуется обращать матрицы ни точно, ни при­ближенно. Мы снова исходим из системы нели­нейных уравнений

и предполагаем, чтонепрерывно дифференцируема над дан­ным интервальным вектором Применяя теорему о среднем значении и полагая получаем тогда

и, полагая

получаем уравнение

Если — решение исходной системы уравнений, принадле­жащее и мы представили матрицув виде

где — диагональная матрица, — строго нижняя

треугольная матрица,— строго верхняя треугольная матрица, то из последнего уравнения следует для невырожденной матрицы соотношение

где

Ввиду из монотонности

включения следует, что

Представим теперь интервальную матрицу

в том же виде, что и матрицу

Положим еще . Если никакой диагональный элемент матрицы не содержит нуля, то с помощью монотонности включе­ния получим

Здесь подразумевается, что — это диагональная

матрица, полученная из диагональной матрицы

обращением диагональных элементов.

Если теперь выбран интервальный вектор содержащий

то с помощью математической индукции по номеру шага итерации в итерационном методе

(1)

можно показать, что имеет место Так как на

каждом шаге берется пересечение, последовательность сходится к некоторому пределу z, и имеем Исходя из

z, вычисляем интервальную матрицу а с ее по-

мощью — новую локализацию решения и т. д. Однако мы выберем сейчас другой путь В итерационном методе (1) поло­жим Из предшествующих рассуждений следует, что

и Кажется естественным взятьи вычислить

новую интервальную матрицу с помощью этого интер-

вального вектора, который локализует не хуже, чем В итерационном методе (1) для вычисления новой локализации нужен ровно один шаг. Соединяя все это, мы окончательно по­лучаем следующую итерационную процедуру:

(2)

Таким образом, данная система нелинейных уравнений пре­образуется, как и в методе Ньютона, в систему линейных урав­нений с интервальными коэффицентами. По этой линейной си­стеме новая локализация для вычисляется с помощью ме­тода, похожего на полношаговый. Поэтому мы называем его полношаговым методом ньютоновского типа.