Дискретно-непрерывная математика (стр. 83 )

Поскольку q является метрикой на І(R), легко доказать, что q останется ею и при переходе к R(C). Введение на R(C) метри­ки q делает его топологическим пространством. Если теперь обычным для метрических пространств способом определить сходимость, то окажется, что последовательность где сходится к А = А1 + іА2 — элементу R(C ) тогда и только тогда, когда

(1)

Из факта замкнутости метрического пространства вытекает, что R(С) с заданной на нем метрикой q также образует замкнутое метрическое пространство.

Определение 2. Пусть Тогда

называется абсолютной величиной А.

Если, в частности,то

(2)

Итак, абсолютная величина из определения 2 не совпадает с евклидовой нормой комплексного числа. В дальнейшем из контексга всегда будет ясно, какая из них используется в кон­кретном случае. Кроме того, заметим, что из (2) следует спра­ведливость соотношения

Пусть d в соответствии с определением 8 п.7.2 служит обозначе­нием ширины вещественного интервала. Тогда имеем

Определение 3. Еслито шириной А будем называть

Теперь перейдем к множеству К(С).

Определение 4. Пусть

Тогда назовем

Для того чтобы определить расстояние между двумя круго­выми интервалами на комплексной плоскости, в определении 4 используется евклидова метрика. Когда абсолютная величина кругового интервала применяется к обычным комплексным чис­лам, она совпадает с евклидовой нормой. Обратим внимание, что и на этот раз выполняется соотношение

Если сходимость последовательности, состоящей из элемен­тов К(С), определена, как обычно, с помощью соответствую­щей метрики, то можно легко убедиться в замкнутости метри­ческого пространства (К(С ), q). Опираясь на такого рода опре­деление, получаем, что

(3)

где

В следующей теореме собраны наиболее важные свойства метрики, абсолютной величины и ширины на множествах R(C) и К(С).

Теорема 5. Пусть имеются А, В, С, D из І(R). Тогда

(4) (5) (6)

Если В и С принадлежат К(С), то в (6) всегда имеет место равенство.

(7)

(8)

(9)

(10)

Еслито (10) превращается в равенство.

(11)

(12) (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Доказательство. Сначала докажем перечисленные свойства из R(С). Справедливость (4) — (7) следует непосредственно из соответствующих свойств (4 п.7.2) — (7 п.7.2), сформулированных в тео­реме 7 п.7.2 применительно к вещественным интервалам.

Пусть

(4):

Свойства (8)—(11) доказываются на основании определе­ния |A|.

(в соответствии с 5)).

(из 6) и (7)).

Из определения 5.3 п. 7.4 следует

и с помощью (2) получаем

(17): Это свойство является прямым следствием (21 п.7.2.). Теперь пусть

С теоремой 4 п.7.1 связана

Теорема 6. Операции заданные на R(C) определением 3 п.7.4, а на К (С)— определением 7 п.7.4, непрерывны.

Доказательство. Пусть — последователь-

ности, у которых

и

Докажем непрерывность умножения:

поскольку операции отделения вещественной и мнимой частей комплексного числа непрерывны на І(С).

Подобное доказательство можно провести и для остальных операций на R(C) и К(С).

Аналогично (22 п.7.1) вводится еще одна бинарная операция на R(С). Теоретико-множественное пересечение F и В из R(C), задаваемое формулой

(18)

называется пересечением А и В. Это пересечение принадлежит R(C), если оно не пусто. При А = А1+ iA2 и В = В1+ iB2 имеем

(19)

где находится по формуле (23 п.7.1).

Со следствием 12 п.7.1 связано

Следствие 7. Пусть Тогда имеем

(монотонность включения). (20)

При этом операция пересечения непрерывна, если ее результат остается в R(C).

Данное следствие можно доказать с помощью следствия 12 п.7.1, если последовательно применить последнее к вещественной и мнимой частям.

Модуль 8

Методы локализации

Микромодуль 26

Локализация нулей функций одной вещественной переменной

В этом микромодуле мы рассмотрим методы локализации нулей ве­щественной функции f одной вещественной переменной х. Эти методы позволят найти множество интервалов наименьшей возможной ширины, таких что каждый интервал содержит один или несколько нулей функции f из заданного интервала Х(0) І(R). Особый интерес представляет случай одного изолиро­ванного нуля в Х(0). При разработке таких методов будет обращено особое внимание на два обстоятельства. С одной стороны, ме­тоды должны быть применимы к широким классам функций при легко проверяемых условиях. С другой стороны, должна быть гарантирована локализация нулей и в том случае, когда рас­сматриваемые методы реализуются на вычислительной машине, где вместо обычной интервальной арифметики возникает ма­шинная интервальная арифметика, описанная ранее. Поэтому такие методы радикально отличаются от методов для конкрет­ных классов функций и от других процедур общего назна­чения.