Дискретно-непрерывная математика (стр. 120 )

Это означает, что в методе (7) по крайней мере одна компо­нента шириныуменьшается на (k+ 1)-м шаге более чем вдвое. Метод (7) можно улучшить, определяя на каждом шаге новую матрицуПри выводе формул (7) было видно, что для соотношения (8) нужно лишь

и

Иными словами, на (k+1)-м шаге находим локализую­щее множество для множества уравнений

Теперь покажем, как определить подходящую последо­вательность Сначала найдем локализующее множе­ство для

с помощью одного из итеративных методов, описанных ранее. При этом используем сокращениедля интервальной матрицы и сокращение для интервальной матрицы

Начинаем с интервальной матрицыкоторая была найдена, например, с помощью обычных оценок по норме и удовлетворяет условию

Затем исполняем итерационную процедуру

(10)

Последовательность

всегда будет сходиться к некоторой однозначно определенной интервальной матрице если спектральный радиус

удовлетворяет условию

Матрица в (10) симметрична относительно центра Это означает, что процедуру (10) можно разбить на две одинаковые вещественные итера­ционные процедуры соответственно для матриц верхних и ниж­них границ дляПоэтому для вычисления нужно ре­шить всего одну систему вещественных уравнений. Положим теперь

(11)

С помощьюэтой матрицымы делаем шаг итерации

Вычисляется новая матрица и затем запускается процедура (10). Из легко следует, что

Поэтому матрицу можно использовать в качестве нового начального элемента для (10). Мы получаем таким образом следующую итерацион­ную процедуру, в которой содержит множество

(12)

где—матрица, обладающая свойством (11) и вычисленная с помощью процедуры (10); причем используется в качестве начальной матрицы в (10) при k= 1.

Докажем следующее утверждение о методе (12).

Теорема 2. Пусть — интервальный вектор, а — ко-

рень функции Пусть — интервальная матрица, содер-

жащая все обращения матриц До-

пустим еще, что производная Фреше для значения аргумента удовлетворяет условиям теоремы 5 п. 7.3 для каждого элемента. Тогда последовательность интервальных векторов, вы­численная по формулам (12), обладает следующими свойствами.

(8) Каждое из приближенийсодержит корень

(9) если любая матрицанеособенная, то мы имеем

если последовательность сходится к то для некоторой нормыверно

(13)

т. е. R-порядок метода (12) удовлетворяет неравенству

(см. приложение А, теорема 2).

Доказательство. Проверка соотношений (8) и (9) проводится совершенно так же, как в доказательстве теоремы (1). Нужно лишь рассмотреть

(13): Из того чтоследует, что

Теперь, применяя монотонную векторную норму и совмест­ную с ней монотонную матричную норму, получим

Наконец, нужно оценитьТак как удовлетворяет равенству

получаем из (21 микромодуля 29) и (29 микромодуля 29), что

Применяя упомянутую выше монотонную матричную норму, а также соотношения

получаем, что

где — константа, не зависящая от k.

Отдельные элементы матрицыимеют вид

и с помощью соотношения (5' п.7.3) для них можно получить оценку

Следовательно, мы имеем

где — билинейный оператор из

в Если определить норму для обычным равенством

то получается, что

т. е.

Подставляя это в полученную выше оценку для получаем

для монотонной векторной нормы. Применяя понятие эквива­лентности норм так же, как при доказательстве соотношения (8 из микромодуля 36) в теореме 1 из микромодуля 36, мы убеждаемся, что могли использовать произвольную норму, и имеем соотношение (13) с константой γ, не зависящей от k.

Теперь мы хотим рассмотреть другой способ, позволяющий вычислять решение уравнения путем последовательных локализаций. Этот метод подходит для определенных классов нелинейных систем уравнений.