Дискретно-непрерывная математика (стр. 90 )

Можно также построить интервальные варианты некоторых методов, используя интервальный метод regula falsi (RF). Эти ме­тоды имеют порядок сходимости выше первого, хотя они исполь­зуют значения только самой функции f. Мы опишем здесь такой метод, представляющий собой прямое обобщение интервального метода regula falsi.

Снова предполагается, что функция f имеет простой нуль ξ в интервале X, а интервалы Н, К удовлетворяют условиям тео­ремы 7. Задан параметр р — целое число ≥ 1. Теперь параме­трический метод regula falsi, короче p-RF, формулируется сле­дующим образом:

Метод p-RF обладает следующими свойствами.

Теорема 8. Пусть функция f дважды непрерывно дифференци­руема в интервале X и имеет там нуль ξ. Пусть выполнены условия

Тогда последовательность {X(k)}, вычисленная по формулам p-RF, удовлетворяет для р ≥ 1 условиям

(25)

(26)

или стабилизируется через конечное число шагов на точке

Для некоторого γ≥ 0 справедлива оценка (27)

и

Доказательство. При р = 1 теорема 8 сводится к теореме 7, поэтому мы предполагаем далее, что р ≥ 2.

Установим соотношение (25). Мы наметим доказательство методом математической индукции. Доказываемое утверждение очевидно для k = 0, 1. Мы допустим, что оно верно для фикси­рованного k и докажем его для k+1. Из нашего индукционного предположения следует, что

В случае когда мы имеемоткуда следует, что

для i = 2, 3, ..., р. Поэтому имеем

Если теперьтои получаем соотношение

где

Тем же методом, что и в доказательстве теоремы 7, отсюда получаем, что

и окончательно . Остается показать что, і=2,3,…,р.

Дляснова показываем, используя остаточный

член интерполяционной формулы Ньютона, что из всегда следует.

Это снова очевидно для Так как

мы получаем

а потому и

Соотношение (26) немедленно следует из формул, по кото­рым вычисляется Х(k+1,0). Мы не приводим здесь элементарного обоснования этого факта.

(27): Не умаляя общности, предположим, чтоТогда

из определения процедуры p-RF немедленно следует, что

Аналогично тому, как доказано утверждение (24) в теореме (7), получаем, что

и аналогичным образом

Эта простая рекурсия дает соотношение

Используя равенствополучаем соотношение

из которого снова получаем требуемое неравенство для R-пoрядка с помощью теоремы 3 из приложения А.

Замечания. Были предложены и исследовались различные моди­фикации методов (3) и (11). Вариант, приведенный в [407], был исследован в [268]. Процедура, аналогичная (3'), используется для уточнения оценок всех нулей в предписанном интервалеУточнения нижней границы x1(k+1) вычисляются отдельно от уточнений верхней границы Для этой процедуры требуются как значение функции f (x1(k)) (соответственно так и оценка т=|М| величины |f(x)| для Тогда последовательность нижних границ сходится к наименьшему нулю, принадлежащему интервалу Соответственно последовательность верхних границ сходится к наибольшему нулю функ­ции f(x) в Существует аналогичный метод для многочленов.

Используется неявное представление метода (3) (со­ответственно (11)). Функция f(x) локализуется интервальным выражением

где М(k) определяется аналогично (9). Тогда интервалы вычисляются с помощью требования

При этом возникают различные случаи в зависимости от того, верно ли, чтоЭтот метод сходится при определенных условиях, и если имеется несколько нулей, то возникает несколько подпоследовательностей. Найдена рекурсивная процедура для этого случая. Этот метод был эскизно описан в конце разд. С. Он был применен к нахождению нулей производной дважды непрерывно дифференцируемой функции на интервале, что ис­пользуется при нахождении глобального минимума функции.

Приведенные в теореме 1 (соответственно в теореме 4) ре­зультаты о методе (3) (соответственно о методе (11)) можно обобщить следующим образом. Предполагается, что для функ­ции f на интервале Х(0) имеется интервал М, такой что 0М и

(28)

Если

то найдетсятакое что Это будет в том случае,

если мы предположим, не умаляя общности, что т1 > 0, а затем Из этого предположения получается

противоречие, если рассмотреть

Поэтому мы должны иметь откуда следует, что

Х(0), а тогда в силу теоремы 1 также и X(1) содержит нуль ξ.

Мы хотим теперь, используя средства интервальной арифме­тики, дать короткое доказательство того, что уравнение f(x)= 0 имеет корень в интервале Предположим, что f дважды непрерывно дифференцируема и что

Допустим еше, чтои положим

Тогда для любогои некоторого θ, лежащего

между х(0) и у, имеем