Дискретно-непрерывная математика (стр. 87 )

или

Из последнего неравенства, однако, следует, что

Кроме того, при условии имеет место

Теперь эту процедуру можно повторить для подынтервалов U(1) и V(1) и т. д. Суммарная ширина этих интервалов стремится к нулю. Если f имеет в X(0) только простые нули, то после не­которого шага итерации все они окажутся в непересекающихся подынтервалах. Далее, после некоторого шага k процедура пре­вращается в итерацию вида (11). После этого либо подынтер­валы стремятся к интервалу, содержащему нуль, либо в какой-то момент получается пустое пересечение.

Вместо того чтобы использовать в (11), в соответствии с (3) можно для многочленов использовать ин­тервалы

J1, J2, J3 и J4 из теоремы 7 микромодуля 24 с и для локализации производной. Все утверждения теоремы 4 остаются справедливыми. Так как в теореме 7 микромодуля 24 было показано, что J1 — оптимальная локализация, то для получения наилучшей локализации на каждом шаге разумно использовать именно этот интервал для локализации производной.

В этой связи рассмотрим следующий многочлен.

Пример. Пусть

Этот многочлен имеет корень Используя

формулы (11), мы находим локализующие интервалы для кор­ня, вычисляя по схеме Горнера. Таблица 3 со­держит вычисленные интервалы.

Таблица 3

Если заменено на J1, мы аналогичным образом получаем табл. 4. В табл. 5 мы приводим для каждого шага итера­ции частное от деления ширины первого итерированного интервала на ширину второго итерированного интервала.

Таблица 5

8.4. D. Методы более высоких порядков

Рассмотрим методы более высоких порядков для нахождения в интервале нуля ξ строго монотонно возрастающей или монотонно убывающей вещественной функции, обладающей непрерывными производными достаточно высокого порядка. Эти методы всегда сходятся. Идея описывае­мого построения принадлежит Эрманну. С помощью этой идеи и методов интервального анализа можно разработать ме­тоды, для которых обязательно имеет место сходимость. Как и в разд. А, В, С, предположим, не умаляя общности, что

(1)

Пусть, далее, т1 и т2 снова обозначают границы разностных отношений

(2)

Границы т1 и т2 определяют интервал М = [т1, т2]. Пред­полагаем, что функция f (р+1)-кратно непрерывно дифференцируема и для имеет место

(14)

Интервалы F, могут быть найдены, например, с помощью интервального оценивания производных функций f на интервале Х(0). Если интервальные выражения для производных не опре­делены (например, из-за деления на X при 0X), тo можно подразбить интервал Х(0), а затем построить интервалы Fi, взяв объединение оценок, полученных для частичных интервалов.

Рассмотрим теперь следующий метод итераций:

(15)

Как и в разд. А этого модуля, т(Х) означает произвольный выбор вещественного числа в интервале X. Формулы, приведен­ные выше, требуют на каждом шаге вычисления значений

и обладают следующими свой­ствами.

Теорема 5. Пусть функция f имеет (р + 1) непрерывную произ­водную, p≥ 1, и пусть для Х(0) верно соотношение (1). Пусть ξ — нуль функции f в Х(0), интервал М = [m1, m2] определен со­отношением (2) и имеет место (14). Тогда для итераций (15) верно, что

(16)

и либо

(17)

либо эти итерации стабилизируются через конечное число шагов на точке

(18)

для некоторого Таким образом, согласно теореме 2 из

приложения А, R-порядок последовательности не меньше, чем р +1.

Доказательство. (16): Допустим, что для некоторого k≥ 0. Это верно для k = 0 в силу условия теоремы. Как и в теореме 1, показываем, что

Пустьдля некоторого i≥ 0. Это верно для i =0,

Теперь имеем

Из формулы Тейлора получаем

для некоторого ηi+2, лежащего между x(k) и ξ. Вместе с монотон­ностью это дает нам соотношение

Поэтому имеем и

(17): Тем же методом, что и в доказательстве теоремы 1, можно показать, что откуда следует

так как в формулах (15) берутся пересечения. Затем, как и в теореме 1, можно показать, что

Так как в формулах (15) берутся пересечения, получаем

Тем же методом, что и в теореме 1, получаем сходимость Остающаяся часть утверждения (17) доказывается

так же, как в теореме 1.

18): Мы имеем откуда

с константойне зависящей от k.

Предположим, что для некоторого i≥1 имеем

где γi не зависит от k. Это только что доказано для i = 1 Для i>1 имеем из формул (15) с помощью правил из п.7.2 для вычисления ширины, что

с константой

не зависящей от k. Поэтому соотношение

справедливо для

Далее

с константой γр, не зависящей от k. Это доказывает формулу (18) для

γ = γр, что и завершает доказательство теоремы.

Теперь исследуем случай р = 1 несколько по­дробнее. Для р = 1 формулы (15) можно переписать в виде