Дискретно-непрерывная математика (стр. 75 )

Подобным образом можно показать, что

откуда сразу же вытекает (13).

(14):

(15): При п=1 имеет место равенство. Если неравенство вы­полняется для некоторого п ≥ 1, то, используя (12) и последнее соотношение из (8), имеем

(16): Поскольку хХ, из (9) и свойства монотонности вклю­чения получаем

(17): Так как то откуда имеем

Итак,

Теперь докажем следующую теорему.

Теорема 10. Пустьпричем А — симметричный ин-

тервал, т. е. А =—А. Тогда имеют место следующие свойства:

(18)

(19)

Если илито второе свойство выполняется и в

случае, когда 0А.

Доказательство. Предположим, что А = —A, или, что то же самое, а2 = а = —а1. Тогда

Опираясь на равенство (14), получаем (19) Остальные случаи могут быть доказаны аналогичным образом.

Теорема 11. Для интервалов А и В из I(R) справедливы сле­дующие свойства:

(20)

(21)

Доказательство.

(20):

(21): Пусть А В. Тогдаи, следовательно,

откуда

Введем теперь на еще одну бинарную операцию. Пусть

Тогда отношение

(22)

представляет собой теоретико-множественное пересечение двух интервалов. Результат этой операции принадлежит I(R) тогда и только тогда, когда пересечение не пусто. В этом случае

(23)

В приводимом ниже следствии собраны важные свойства операции пересечения.

Следствие 12. Пусть Тогда

(24)

Пока операция пересечения не выводит из I(R), она непрерывна.

Доказательство. Монотонность включения (24) вытекает из определения (22). Доказательство непрерывности может быть получено с помощью (23).

Замечания. Мур использовал хаусдорфову метрику на I(R), соответствующую определению 1. Некоторые из правил для вычисления абсолютного значения |A| и ширины d(A) имеются в работах Мура и Кулиша. Важное в при­ложениях неравенство (7) впервые доказал Майер.

Иногда абсолютное значение вводится следующим способом, основанным на определении 3 п. 7.1:

Поскольку такое определение редко применяется в приложениях, мы также не будем его использовать.

Согласно (частное сообщение), в выражении (16) можно обойтись без сомножителя 2, если уточнить соответ­ствующую оценку. Для х, принадлежащего где . Предположим, что (если это не так, будем иметь дело с х— X). Тогда

и с помощью полной индукции получаем Следовательно,

Теперь и, поскольку

имеем. Итак,

Микромодуль 24

Интервальное оценивание

В этом микромодуле мы обсуждаем непрерывные вещественные функции. Пусть f относится к их числу. Аналитическое выраже­ние для f=f(x) представляет собой запись вычислительной процедуры, выдающей значение функции f для произвольного аргумента х Примем при этом, что все выражения, с которыми мы будем иметь дело, составлены из операций и операндов, число которых конечно, одновременно мы предполагаем, что если эти выражения вычисляются в интервальной арифметике, то составляющие их операции трактуются в соответствии с опре­делениями 2 п. 7.1 и 3 п.7.1. Выражение, содержащее константы а(0), ..., а(т), будет для наглядности записываться в виде f(x; a(0), ..., а(т)). Чтобы упростить изложение, в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что каждая из констант a(k), 0 ≤ k ≤ m, встречается в аналитическом выражении функции только один раз Этого всегда можно добиться, вводя новые константы, рав­ные константам, встречающимся неоднократно.

Пример. Двумя аналитическими выражениями функции g являются

и

Запись

будет в дальнейшем обозначать диапазон изменения функции f, причем предполагается, что х из X и a(k) из не зависят друг от друга. Согласно этому определению, интервал

будет одним и тем же при любом аналитическом выражении для f.

Пример. Возьмем g из предыдущего примера. Для

получаем

Введем теперь понятие интервального оценивания веществен­ной функции f. Пусть для f имеется аналитическое выражение. Заменив в этом выражении все вещественные операнды и опе­рации над ними на интервальные операнды и операции, получим выражение Если все операнды попадают в области, на которых заданы операции из определений 2 п. 7.1 и 3 п.7.1, то называется интервальной оценивающей

функцией, или, для краткости, оценкой f, а получение ее значе­ния— вычислением, или оцениванием, f в интервальной ариф­метике.

Для функций, рассматриваемых нами, замена описанного типа возможна всегда. Константы как и переменная х, превращаются в интервалы. Очевидно, что результат оце­нивания функции f зависит от выбора для нее аналитического выражения. Впоследствии мы будем использовать этот факт. А сейчас приведем простой пример.

Пример. Пусть g — функция из предыдущих двух примеров. Для

получим две различные оценки:

Введенные выше обозначения можно распространить на функции от нескольких переменных. В этом случае множеством значений при независимых x(k) из становится