Дискретно-непрерывная математика (стр. 109 )

Наконец, (4) получается путем использования формул, опи­сывающих метод Гаусса, правил (10 п.7.2), (14 п.7.2), (12 п.7.5) и (16 п.7.5), а также предположения

Формулы, описывающие метод Гаусса, применимы только к таким интервальным матрицам, для которых условие выполняется на всех шагах приведения к верхней треугольной форме. Если это не так при некотором т. е. то все еще возможно, что подходящая перестановка столбцов позволит избежать соотношения Однако это не всегда возможно, даже если предположить, что сначала существует для всех Причина заключается в следующем.

Очевидно, что в предположении существования для всех мы всегда можем выполнить первый шаг метода Гаус­са. Если бы мы не смогли сделать этот шаг из-за того, что все элементы первого столбца содержат нуль, то исходная интер­вальная матрица содержала бы вырожденную точечную матрицу а это противоречит нашему предположению. Рассмотрим теперь матрицу размерности (п—1)×((п—1), для которой Пусть обозна­чает интервальную матрицу

размерности (п— 1)×п, а —интервальную матрицу

размерности п× (п—1). Мы имеем Аналогичным

образом положим

гдеМы получаем, что матрица

невырожденная, так какневырожденная. Поэтому в первом столбце матрицынайдется хотя бы один ненулевой элемент. Из монотонности включения следует, что

и в общем случае здесь нет равенства, как показывает простой пример из микромодуля 29. Поэтому нет гарантии, что в первом столбце матрицы будет хотя бы один элемент, не содержащий нуля.

Те же рассуждения проходят и для следующих шагов метода. Покажем это с помощью следующего простого примера.

Пример. Рассмотрим интервальную матрицу

Покажем сначала, что не содержит вырожденной точечной матрицы. Так как

получаем для любой точечной матрицы что

Из того что интервал в правой части не содержит нуля, сле­дует, что невырожденная.

Теперь шаг исключения согласно методу Гаусса порождает (в силу определения 3 п.7.4 и следующего за ним замечания) интервал

Поэтому невозможно продолжить применение метода Гаусса. Даже если мы отделим в матрице вещественную и мнимую части, нам все равно не удастся решить получившуюся систему из 4 интервальных уравнений с 4 неизвестными с помощью метода Гаусса, хотя исходная интервальная матрица снова не содержит вырожденных точечных матриц.

Покажем теперь, что метод Гаусса всегда можно выпол­нить при п≤ 2, если коэффициенты — вещественные интервалы и все точечные матрицыневырожденные.

Теорема 1. Пусть 1≤п≤2 интервальная матрица размерности п×п не содержит невырожденных матриц. Тогда можно выполнить метод Гаусса.

Доказательство. При п = 1 наше предположение означает, что и в этом случае наша теорема доказана для При п = 2 хотя бы один из интервалов А11, А21 не содержит нуля. Если бы это было не так, то существовала бы вырожденная матрицачто противоречит условию теоремы. Не умаляя общности, считаем, что 0А11; если это не так, переставим строки матрицыТеперь метод Гаусса дает

Мы можем рассматривать как оценивание рациональ­ной функции а'22 от четырех переменных в интервальной арифметике, определяемое формулой

По условию теоремы мы имеем для любой соотношение

откуда

Приведенное интервальное оценивание даст точную локали­зацию, если заменить а11 на А11, a12 на А12, а21 на А21 и а22 на А22, так как каждая переменная входит в выражение для а'22 всего один раз. Поэтому мы имеемчто и означает возмож­ность выполнения метода Гаусса.

Данное выше доказательство не обобщается на случай п ≥ 3. Даже для п = 2 теорема будет неверна, если элементы интер­вальных матриц берутся из R(С) или из К(С).

Рассмотрим теперь один конкретный класс интервальных матриц, для которого метод Гаусса всегда может быть выпол­нен. В этом классе можно даже не переставлять строки или столбцы. В дальнейшем мы ограничимся системами уравнений, где элементы матрицы коэффициентов и правой части принад­лежат множеству вещественных интервалов или комплексных круговых интервалов. Системы уравнений, элементами которых являются комплексные прямоугольные интервалы, можно свести к первому из упомянутых случаев, отделяя вещественную и мни­мую части.

Чтобы объединить приводимые ниже доказательства для ве­щественных интервалов и комплексных круговых интервалов, мы заметим, что вещественный интервал вида А =[а1, a2] мож­но представить в виде

где

Здесь а — центр интервала, а r — радиус, т. е. половина ши­рины. Мы вводим обозначение

чтобы подчеркнуть аналогию с комплексными круговыми интер­валами. Арифметические операции на вещественных интервалах также можно определить через центр и ширину. Пусть

Тогда сложение и вычитание интервалов А и В можно записать в виде

Формально это соответствует сложению и вычитанию комп­лексных круговых интервалов. Для умножения нам нужно толь­ко равенство