Дискретно-непрерывная математика (стр. 107 )

Мы допускаем в качестве начального вектора любой интер­вальный вектортакой что где— неподвижная точка, т. е. решение уравнения Введем частичный порядок на рассматриваемом множестве итерационных методов, полагая если для всех Здесь обозначают последовательности, вычисленные согласно методам (М) и (). Из теоремы 2 имеем

Аналогично из теоремы 3 имеем

Наконец, из теоремы 4 имеем, что

для любого из рассматриваемых итерационных методов (М). Объединяем эти результаты в следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть — интервальная матрица, такая что и— интервальный вектор. Если начать вычисле­ние по одному из методов (1), (S), (TI), (SI), (SIC) и (SSIC) с вектора х(0), удовлетворяющего соотношениию то метод (SSIC) всегда даст наименьшую (в смысле включе­ния) локализацию последовательности для

Следующая диаграмма наглядно выражает содержание тео­ремы 5:

Чтобы проиллюстрировать теорему 5, были просчитаны раз­личные примеры на ЭВМ (где мантисса содер­жит 8 десятичных цифр).

Для каждого примера приводим начальный вектор и число итераций k*, после которого процедура ста­билизируется. Примеры показывают, что метод (SIC) требует примерно на 25% больше шагов итерации, чем метод (SSIC).

В первых двух примерах и исходные данные, и неподвижные точки — невырожденные интервалы. В этом случае приводим также и вектор. В остальных примерах приводим только наибольшую ширину компоненты вектора т. е. величину Все примеры были приведены к виду

таким образом, что диагональные элементы матри­цыравны нулю.

I. Пример.

II. Пример.

III. Пример.

IV. Пример.

V. Пример.

VI. Пример. Возьмем в примере V

Использование локализующих множеств важно при реали­зации итерационных вычислений на ЭВМ. Если в этом случае мы начинаем вычисления с вектора, представимого в машине и содержащего неподвижную точку, т. е. решение уравнения то все следующие приближения снова содержат эту неподвижную точку. Так как вычисление новых приближе­ний искажается погрешностями округления, мы можем в дей­ствительности в какой-то момент «потерять» неподвижную точку: некоторый вновь вычисленный интервал уже не будет содержать ее. Еели все операции выполняются в машинной интервальной арифметике, то свойство содержать неподвижную точку не будет потеряно. Если мы применяем метод, где берутся пересечения, то получается последователь­ность

Последовательность приближений, вычисленных на машине, стабилизируется, начиная с некоторого номера Это следует из того факта, что на цифровой машине представимо лишь ко­нечное количество вещественных чисел.

Покажем, что для методов (TI), (SI), (SIC) и (SSIC) после конечного числа шагов не нужно брать пересечений. Сформулируем и докажем такую теорему для метода итераций (TI).

Теорема 6. Пусть — интервальная матрица, для которой Пусть вектор , выбран таким образом, что для неподвижной точки т. е. решения уравнения выполнено включение которое вводится соотношениями Тогда существует такое что при всех для итерационного метода

выполнено равенство

т. е. верно включение

Доказательство. Мы ограничимся случаем, когда все элемен­ты матрицы и векторовпринадлежат Случай, когда разрешены элементы из может быть рассмотрен аналогичным образом. Сначала мы покажем, что из включения следует, что не может выполняться соотношение

Действительно, если бы оно выполнялось, то из формул

определяющих наш метод итераций, следовало бы при z(0)=x(0), что

и вообще

Так какмы имели бы тогда

где

Из последнего соотношения следует, что z* x(0) x*. Это противоречит единственности неподвижной точки, т. е. решения уравнения Теперь полагаем

где

Из только что установленного факта следует, что найдется номертакой что имеет место в точности одна из

следующих двух возможностей:

(а) (b)

В случае (а) мы получаем ввиду и монотонности

включения, что

а в общем случае ввидуметодом математической

индукции получаем

(b). Полагая для, мы

можем, не умаляя общности, считать, что

т. е.

(Возможен еще случай