Дискретно-непрерывная математика (стр. 102 )

таким образом, что для любых 1≤і, j ≤ n по крайней мере одна из компонент равна нулю.

Это последнее условие выполнено, например, для разложе­ния, с которого начинается описание симметрического короткошагового метода (SS). Теорема 8 немедленно дает приводимое ниже утверждение.

Следствие 9. Симметрический короткошаговый метод сходится к единственной неподвижной точке уравнения для любого начального вектора тогда и только

тогда, когдст. е. когда полношаговый метод (а по-

тому и короткошаговый метод) сходится к для любого

Теперь мы рассмотрим скорость, с которой сходится к последовательность интервальных векторов, порожденных итерационной процедурой

(4)

Определение 10. Пустьи пусть —множество всех

последовательностейвычисленных по формуле (4) и

удовлетворяющих условию Тогда величина

называется асимптотическим фактором сходимости итерации

(4) к точке

Пусть— последовательность, сходящаяся к Положим

Так как мы получаем, что а значит, иИз определения β следует, что для любого ε> 0 найдется k0, такое что

(5)

Если, то можно выбрать таким образом, что Тогда неравенство (5) показывает, что последова­тельность асимптотически сходится к нулю не хуже, чем геометрическая прогрессия со знаменателемТочная верхняя грань по всем последовательностям изхарактеризует асимптотически наихудший выбор вектора х(0). Определение 10 — это непосредственное обобщение определения фактора асимптотической сходимости для последовательностей точечных векторов.

Для дальнейшего важно, что α не зависит от нормы. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что β не зависит от нормы Пусть— две нормы на векторах. Из теоремы об эквивалентности норм следует, что существуют вещественные числа такие, чтодля любых точечных векторов. Отсюда мы получаем

Перед тем как применить определение 10 к методам, рас­смотренным в этом микромодуле, докажем одну теорему о точечных матрицах.

Рассмотрим положительный точечный вектор и диагональную точечную матрицу Тогда неравенство

определяет монотонную норму на векторах (короче, векторную норму), т. е. из

следует, что

(в частности, изследует, что справедливо неравенство

Полагая

мы получаем норму на матрицах, подчиненную векторной норме , причем

Теперь докажем следующее утверждение.

Теорема 11. Для любой точечной матрицыи любого

существует монотонная векторная норматакая что

имеет место

Доказательство. Пусть матрица неприводима. Тогда имеет положительный собственный вектор

соответствующий собственному числу. Из равенства следует, что

где

т. е.

Если приводима, то определим неприводимую матрицу

равенствами

Очевидно, что . Если теперь — поло-

жительный собственный вектор матрицысоответствующий

собственному числу то из неравенства

(которое верно для любой матричной нормы) следует, что

где Так

как спектральный радиус — непрерывная функция от элементов матрицы , получаем, что для каждого ε>0 существует такое что

имеет место для всехТак как

получаем отсюда, что

или

После этой подготовки мы легко докажем следующее утверж­дение.

Теорема 12. Пусть дано уравнение

где — интервальный вектор и — интервальная матрица, для которойТогда асимптотический фактор сходимости