Дискретно-непрерывная математика (стр. 129 )

существует (4)

Матрица невырождена, и имеет место

(5) (6)

(7)

Тогда итерация

(8)

может быть выполнена без ограничений и имеет место

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Еслинепрерывна, то Все решения

системы принадлежащие множеству

удовлетворяют условию

Если матрица невырожденная при

Если сверх того производная Фреше удовлетворяет условию Липшица вида

(17)

и отображениеудовлетворяет условию

(18)

то

(19)

и последовательность

сходится кпричем R-порядок сходимости не меньше 2.

Доказательство. (9)—(14): Доказываются методом матема­тической индукции.

Пусть

Из (2) и (3) следует, что

Ввиду из (11) следует, что

а потому с помощью (13) мы получаем

Отсюда, используя (1) и тот факт, что получаем неравенства

(20)

Полагаяиспользуя (10) и тот факт, что

получаем неравенство

которое доказывает (9).

Из (2), (3) и того факта, чтоследует неравенство

Используя (14) и неравенство, получаем, что

Отсюда с помощью (1) и неравенства

следует, что

Аналогичным образом показываем, что откуда и следует (10).

Из

следует с помощью (2), что

С помощью (13) и (14) получаем в силучто

(21)

С помощью (8) получаем, что верны равенства

и

(22)

а также

Отсюда получаются (11), (13) и (14). Чтобы доказать (12), мы должны показать, что матрицанеособенная. Так как неособенная, мы имеем

где

Условие теоремы показывает, что верно

откуда с помощью (21) следует, что

т. е. является слабо регулярным разбиением матрицы

.

В силу (4) имеем Из известной теоремы следует неравенство

где ρ обозначает спектральный радиус. Это означает, что матрица

обратима. В силу (22) отсюда следует, чтообратима. Соотношение (15) выводится из (9) с помощью стандартных рас­суждений.

Из (13) или (14) следует с помощью (4), что

Из непрерывности отображения следует, что

и ввиду из (2) следует, что

Отсюда с помощью (4) следует, что

т. е. верно

Поэтому последовательность (11) ограничена сверху, а зна­чит она сходится

Из формул (8), описывающих итерацию, следует с помощью (21) и (11), что

откуда получается, что

Так как матрицаневырожденная, мы обосновали (16). Пусть для некоторого k ≥0 верно

где Тогдамы получаем из (20), что

Из соотношения

которое справедливо для и может быть доказано

аналогично (20), получаем, полагаячто

т. е.

для всех k ≥0. Переходя в этих неравенствах к пределу, мы видим, что решения уравнениялокализованные между локализованы также и между

Из формул (8), описывающих итерацию, следует, что для непрерывной имеет место