Дискретно-непрерывная математика (стр. 112 )

Пусть дана вещественная интервальная матрица Будем предполагать, что обратная матрица существует для любойПусть далее — вещественный интервальный вектор.

Запишем в виде

вещественный интервальный вектор с компонентами Li, которые получаются из множества

проектированием на соответствующие оси координат. Иными словами,

— интервальный вектор наименьшей ширины, содержащий множество

Мы хотим теперь исследовать вопрос о том, насколько хоро­шо интервальные векторы, вычисляемые по методу Хансена, аппроксимируют вектор Для «решения» преобразованной си­стемы линейных уравнений мы используем тогда метод Гаусса — Жордана. Будет показано, что разность между шириной полу­ченного вектора и шириной вектора стремится к нулю при стремлении к нулю ширины векторов Это показывает, что метод Хансена дает вектор, достаточно близкий к вектору если ширина исходных данных не слишком велика. Мы снова представляем вещественный интервал с помощью его середины и полуширины

Лемма 1. Пусть — вещественная невы-

рожденная матрица, имеющая обратную, и

пусть — точечные векторы. Пусть далее =(Аij) — интервальная матрица с элементами

— интервальный вектор с элементами Тогда для k-й компоненты введен­ного выше интервального вектора справедливо соотно­шение

Здесь

Запись обозначает любую вещественную функцию f от d для которой

где — константы.

Доказательство В силу правила Крамера множество яв­ляется образом -мерного гиперкуба при отображении

Из теоремы о среднем значении мы получаем, что

Здесь через обозначен гессиан отображения , а — это векторы из причем значениями компонент вектора(соответственно вектора являются элементы матрицы и вектор (соответственно элементы матрицы и вектор ). Если теперь продифференцировать п уравнений

по aij, то, используя соотношение

мы получим уравнение

гдеесть i-й единичный вектор. Отсюда мы получаем

Из равенства

мы получаем

Если использовать эти формулы для производных в теореме о среднем значении, то мы получим

так как

Иными словами,

Лемма 2. Пусть—вещественная невырожденная ма-

трица, для которой

и пусть — вещественный вектор. Пусть далее — вещественная интервальная матрица с элементами — вещественный интервальный вектор с элементами. Запишем в виде интерваль-

ную матрицу а в виде — интервальный

вектор Предположим, что все точечные матрицы,

принадлежащиеневырожденные. Тогда интервальный вектор

где

удовлетворяет соотношению

Доказательство. Пусть Из леммы 1 следует, что

Элементы интервальной матрицы имеют вид

где — символ Кронекера. Элементы интервального вектора имеют вид

Применяя лемму 1 еще раз, мы получаем

где

Из формул для элементов матрицы и векторамы сразу усматриваем, что

Сравнение с выражением для дает

что и доказывает лемму.

Теперь метод Гаусса — Жордана за конечное число шагов порождает по данной интервальной матрице некоторую диа­гональную матрицу. В результате каждого шага в новой матри­це появляется хотя бы один новый нуль вне диагонали. Пред­положим, что даны интервальная матрица и интер­вальный вектор такие что

где

и