Дискретно-непрерывная математика (стр. 132 )

По аналогии с предыдущими рассуждениями мы устанавли­ваем, что (в обозначениях итерацион­ный метод

(3)

порождает векторы содержащие решение Назовем его короткошаговым методом ньютоновского типа со взятием покомпонентных пересечений.

Теперь исследуем для этих двух методов условия сходи­мости к решению Так как мы берем пересечение, каж­дый из этих методов порождает последовательность

которая в силу следствия 8 из микромодуля 29 сходится к некоторому интер­вальному вектору Далее имеем

Без дополнительных предположений имеем в общем слу­чае равенства Следующая теорема дает достаточ­ные условия равенства из которого ввиду сле­дует

Теорема 1. Пусть система нелинейных уравнений имеет решение принадлежащее интервальному вектору Представим интервальную матрицу

в виде

и предположим, что

ПустьЕсли выполнено условие

где ρ обозначает спектральный радиус, то последовательность для методов (2) и (3) сходится к решению

Доказательство. Докажем это утверждение для полно­шагового метода (2). При из формул (2) следует, что

Изследует, чтов частности

т. е.

Из того, что диагональные элементы матрицы не

содержат нуля, следует

С помощью (19 п. 7.2) получаем теперь, что

Из того что

следует, что Тем самым доказано,

что последовательностьсходится к Доказательство

для короткошагового метода аналогично.

Из условий теоремы 1 следует, что система уравнений не может иметь отличных от решений, содержа­щихся в

Описанные выше методы можно модифицировать разными способами. Опишем эти модификации для полношагового метода ньютоновского типа. В случае когда вычисление очень трудоемко, имеет смысл делать в методе (1) более одного шага вычисления локализации для Количество r шагов, которые выполняются после вычисления тоже может

зависеть от Это приводит к следующей итерации:

(4)

Аналогичным образом можно модифицировать и второй из описанных выше методов — короткошаговый метод (3) ньюто­новского типа со взятием покомпонентных пересечений. Полу­ченный метод сходится к ур в условиях теоремы 1.

Модифицированные методы интересны еще и потому, что сходятся суперлинейно при подходящих условиях на последова­тельность Cформулируем и докажем это только для полношагового метода ньютоновскоого типа. Формулировка и доказательство следующего утверждения сохраняются и для ко­роткошагового метода.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Если модифи­цированный полношаговый метод (4) удовлетворяет условию прито

причем

если для элементов матрицы выполнено (5' п. 7.3).

Доказательство. Перед тем как переходить к подробному до­казательству, заметим, что в условиях теоремы 1 метод (4) схо­дится кЭто можно показать так же, как в доказательстве теоремы 1.

Покажем теперь, что имеет место

где

и где — вещественная матрица, зависящая от и такая, что при После этого утверждения теоремы сразу получатся из В доказательстве нашего неравенства воспользуемся тем, что из (5' п.7.3) следует

а также

Здесь— симметрические билинейные операторы, не

зависящие от k.

Мы используем также включение для про-

извольных интервальных матриц и точечного вектора ср.

(Его доказательство основано на определении 3 из микромодуля 29 и законе ди­стрибутивности для

Ввиду получаем из (5),что

где

и при k→∞.

Допустим теперь, что для некоторого i ≥ 1 имеем

ипри k→∞.Тогда получаем из (5), что

где

Ввиду того что

в

получаем, что

Отсюда можно вывести утверждение теоремы. I

Теперь исследуем один класс систем нелинейных уравне­ний, к которому можно применить описанные методы. Ищется решение нелинейной краевой задачи

придля Здесь — односвязная огра-