Дискретно-непрерывная математика (стр. 85 )

и

если значение m(Xik)) из предыдущей формулы не принадлежит интервалу

Интервал М, содержащий разностное отношение (2), тре­буется и в теореме 1, и в следствии 2. Если функция f непре­рывно дифференцируема и для

то в силу тео­ремы о среднем можно положить

В общем случае можно лишь локализовать этот интер­вал, например, путем интервального оценивания f', т. е. по­лагая

Условие т1 > 0 может быть гарантировано в случае необхо­димости с помощью априорной оценки величины

8.2. В. Определение оптимального метода

В методе итераций (3), рассмотренном в разд. А, имеется определенная степень свободы при выбореВ зависимости от выбора точекв интервалах Х(к) мы получаем различные последовательности локализующих интервалов Эти последовательности в общем случае несравнимы почленно в смысле включения интервалов. Поэтому, очевид­но, необходимо попытаться найти методы выбора по­рождающие последовательности в которых ширина отдельных элементов наименьшая возможная. Уточ­ним это требование. Обозначим через φ[Х] класс функций f, обладающих следующими свойствами для данного интервала

(α)

(β) для интервала М = [т1, т2], такого что т, > 0, имеет место

Очевидно, что любая функцияимеет один и только

один корень ξ в интервале X. Поэтому выполнены все условия применимости метода итераций (3) и справедливы все утверж­дения теоремы 1.

Процесс выбора подходящего мы разобьем на шаги. Обозначим последовательные приближе­ния (3) через Для вычисления нового приближения X(k+1) нам нужны величины Если мы за­фиксируем величину из то будет зависеть только от Но это значение функции f мо­жет меняться лишь между ибо и значения зафиксированы. Это позволяет нам опре­делить наибольшую возможную ширину

Это «наихудший» случай для функции .

Теперь мы определимтаким образом, чтобы минимизировать эту наибольшую ширину. Иными словами, вычисляется величина

и соответствующее значение х выбирается в качестве Таким образом, определение производится путем минимизации «наихудшего» случая.

Теперь опишем эту процедуру подробно. Не умаляя общ­ности, рассмотрим случай На рис. 2 отмечена область, куда могут попасть значения в предположе­нии, чтопричем

Рис. 2

Нижняя ограничивающая прямая (m1) может отсутствовать на рис. 2, например, в случае, когда

Остальные значения не налагают никаких дополнительных ограничений на эту область.

Теперь мы оценим возможные значенияпри заданном . Пусть сначала Для всех

значений

мы получаем из (3'), что

Аналогично, для всех значений

(3') дает

(Отметим, что ввиду

мы всегда имеем В первом

случае — монотонно возрастающая функция от f(x), во

втором — монотонно убывающая. Для мы имеем максимум

Оставшиеся случаи рассматриваются аналогично

и дают максимумравный

На рис. 2 показаны два варианта вычисленияприводящие к максимальной ширине δ+(х) (и соответственно δ-(х)).

Теперь мы определим минимум

Выражения удовлетворяют условию

для Поэтому минимум равен

и достигается в точке

(Ср. со следствием 2.)

Распространим теперь принцип оптимизации, который мы применили к вычислению на определение величин

0≤ і < k. Мы хотим определять значения

таким образом, чтобы при этом достигались ве­личины

Оказывается, что это просто, так как оптимальная величина пропорциональна величине d(X(k)) при фиксированном

Область допустимых значений функции

определяется лишь значением Поэтому можно про-