Дискретно-непрерывная математика (стр. 5 )

[k(k-1)+2]+2k = k(k+ 1)+2

частей. Утверждение доказано.

4.3. Тригонометрические и алгебраические задачи

Пример 14. Доказать тождество

Решение. 1°. При п=0 тождество справедливо, так как

2°. Пусть тождество справедливо при n = k, т. е.

Тогда оно справедливо и при n = k+1. Действительно,

Пример 15. Доказать, что An = сos пθ, если известно, что A1 = cos θ, А2 = cos 2θ и для всякого натурального k > 2 имеет место соотношение

Решение. 1°. Утверждение справедливо при п = 1 и п = 2.

2°. Пусть

Тогда

Пример 16. Доказать, что

Решение. 1°. При п = 1 утверждение справедливо.

2°. Пусть

Тогда

ибо

Пример 17. Доказать, что

Решение. 1°. При п=1 утверждение справедливо, так как

2°. Пусть

Тогда

Пример 18. Доказать теорему.

Если в результате конечного числа рациональных действий (т. е. сложения, вычитания, умножения и деления) над ком­плексными числами х1, х2.....хп получается числото в результате тех же действий над сопряженными комплекс­ными числами получится числосопря­женное с

Решение. 1°. Прежде всего покажем, что утверждение верно для каждого из четырех действий над двумя комплекс­ными числами. Пусть

Тогда

Точно так же утверждение проверяется для вычитания, умно­жения и деления.

2°. Пусть теперь дано некоторое рациональное выраже­ние от комплексных чисел х1, х2,....., хп. Вычисление такого выражения сводится, как известно, к последовательному выполнению одного из четырех действий над двумя комплекс­ными числами, причем действия эти могут быть занумерованы.

Например, пусть

Для вычисления и достаточно произвести действия:

Предположим, что утверждение верно для всех выраже­ний, которые для вычисления их требуют не более k «дей­ствий». Термин «действие» здесь означает сложение либо вычитание, либо умножение, либо деление двух комплексных чисел. Покажем, что тогда утверждение должно быть верно и для выражений, требующих k +l «действий».

Действительно, последнее (k+l)-e «действие» мы выпол­няем над числами иi и иj, которые сами вычислялись посред­ством не более чем k «действий».

В результате замены чисел х1, х2.....хп сопряженными, числа иi и иj заменяются сопряженными и , а тогда и результат (k+l)-го «действия» над ними, т. е. число и, также заменится сопряженным числом

4.4. Задачи на доказательство неравенств

19. Доказать, что при любом натуральном п > 1

Решение. Обозначим левую часть неравенств через Sn. следовательно, при п=2 неравенство справедливо.

2°. Пусть при некотором k. Докажем, что тогда

и Имеем Сравнивая Sk и Sk+1 имеем

т. е.

При любом натуральном k правая часть последнего ра­венства положительна. Поэтому Но значит, и

Задача 24. Найти ошибку.

Утверждение. При любом натуральном п справедливо неравенство

Доказательство. Пусть неравенство справедливо при п = k, где k — некоторое натуральное число, т. е.

(1)

Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n = k+ 1. т. е.

(2)

Действительно, 2k не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) 2k, а к правой 2. Получим справедливое неравенство

2k+1+ 2k > 2k + 1 + 2,

или

2k+1 >2(k + 1)+1.

Утверждение доказано.

Пример 20. При каких натуральных п справедливо не­равенство

2п > п2?

Решение.

При п =1 неравенство справедливо, так как 21 > 12.

При п = 2 неравенство несправедливо, так как 22 = 22.

При п = 3 неравенство несправедливо, так как 23 < 32.

При п = 4 неравенство несправедливо, так как 21 = 42.

При п = 5 неравенство справедливо, так как 25 > 52.

При п = 6 неравенство справедливо, так как 28 > 62.

По-видимому, неравенство справедливо при п = 1 и при любом п > 4. Докажем это.

1°. При п = 5 неравенство справедливо.

2°. Пусть

2k > k 2. (3)

где k — некоторое натуральное число, большее 4.

Докажем, что

2k + 1>( k +1)2. (4)

Мы знаем, что 2k > 2k+1 при k > 4 (задача 24). Поэтому если мы к левой части неравенства (3) прибавим 2k, а к правой 2k+1, получим справедливое неравенство (4).

Ответ. 2п>/п2, когда п = 1 и когда п > 4.

Пример 21. Доказать, что

(1 + α)п> 1+пα.

где α > — 1, α ≠ 0, п - натуральное число, большее 1.

Решение. 1°. При п = 2 неравенство справедливо, так как α2 > 0.

2°. Пусть неравенство справедливо при n=k, где k — неко­торое натуральное число, т. е

(5)

Покажем, что тогда неравенство и при п= k +1, т. е

(6)

Действительно, по условию, l+α>0, поэтому справедливо неравенство

(7)

полученное из неравенства (5) умножением каждой части его на l+α.

Перепишем неравенство (7) так:

(l+α)k+1>1+(k+1)α+kα2

Отбросив в правой части последнего неравенства положи­тельное слагаемое kα 2, получим справедливое неравенство (6).

Пример 22. Доказать, что

(8)

где а + b > 0, а≠ b, п — натура чьиое число, большее 1.

Решение 1°. При п = 2 неравенство (8) принимает вид

(9)

Так как а≠ b, то справедливо неравенство