Дискретно-непрерывная математика (стр. 73 )

Справедливо следующее утверждение: уравнение АХ=В разрешимо относительно X из I(R) тогда и только тогда, когда

Решение не единственно лишь в случае

Проиллюстрируем приведенное утверждение примером. Пусть дано уравнение

Равенство выполняется лишь при Х = [—1/2, 3/2], поскольку

С другой стороны, если рассмотреть множество решений всех

уравнений вида

ах =b,

у которых

то получим

Это множество решений существенно отличается от интер­вала X, удовлетворяющего равенству АХ=В. По этой причине мы не называем X решением уравнения АХ=В, а предпочи­таем говорить об «алгебраическом» решении.

Вообще, можно доказать следующее утверждение. Пусть уравнению АХ = В, где 0А, удовлетворяет некоторое X из I(R). Тогда

Действительно,

Заметим также, что равенство АХ = В может быть выполнено, даже если В : А не определено. Примером служит уравнение

для которого единственным решением является Х = [—1, 2], причем

Основное свойство интервальных вычислений — монотонность включения. Следующая теорема разъясняет это свойство.

Теорема 5. Пусть

и предполагается, что

Тогда для операцииимеем

(9)

Доказательство. Так както

Приведем частный случай теоремы 5

Следствие 6. Пусть Тогда

где

Унарные операции r(Х) из определения 3 обладают сход­ными свойствами:

(10)

Непосредственное обобщение этих соотношений на случай интервальных выражений дано в теореме 3 п. 7.3.

Замечания. Это элементарное введение в вещественную интер­вальную арифметику соответствует описанию, данному Муром. Большинство унарных операций из определения 3 легко задаются в виде функций от левой и правой границ интерваль­ного аргумента. К примеру, это можно без труда проделать для монотонных функций хk и √х.

Четыре основные операции (+, —, • и :) на точечных мно­жествах общего вида ввел Янг. Им были получены и не­которые элементарные соотношения, например (3), (4) и (8).

Кулиш исследовал, какие свойства операций, задан­ных на множестве М, переносятся на множество всех его под­множеств Р(М). Интервальные операции вида (1) получаются при этом как частный случай в числе прочих результатов.

Представление интервалов, которое применил Сунага, соответствует круговым комплексным интервалам, опи­сываемым в последующих микромодулях. При этом способе записи пара чисел (а, r) обозначает интервал [а — r, а + r]. Данное представле­ние было использовано им для явного описания и по­следующего применения интервальных операций вида (1).

Ортольф отождествил интервалы [а1, а2] с точками (а1, а2) из R×R. На этой основе ему удалось построить опре­деление операций над всеми элементами R × R. При а1 ≤ а2 его определение сводится к операциям вида (2). Подобным же образом над точками из R × R вводятся отрицание (аддитивная инверсия) и, если 0 [а1, а2], обращение (мультипликативная инверсия).

Кахан предложил обобщение интервальных опера­ций вида (2). Наряду с обычными вещественными числами аргу­ментами обобщенных операций могут быть +∞ и —∞. В неко­торых случаях результатом операции оказывается «интервал» Ω, включающий все вещественные числа. Кроме Ω допускаются также интервалы [а1, а2[ , ] а1. а2[ , ] а1, а2], причем разрешены a1 = ±∞ и а2 = ±∞. Более того, а2 может быть меньше, чем а1 (Например, запись [3,2] заменяет выражение [—∞, 2] [3, +∞] Подоб­ные объекты могут возникать в результате разрешенного в этой арифметике деления на интервал, содержащий нуль). Для интерпретации такого представления интервалов ис­пользуется ориентированная окружность, на которой распола­гаются вещественные числа. Введенные подобным образом ин­тервалы могут содержать ∞≡+∞≡—∞, быть открытыми и полуоткрытыми. Их арифметика определяется в соответствии с (1).

В общем виде интервальные вычисления в частично упоря­доченных пространствах описал Апостолатос. И на этот раз І(R) возникает как частный случай.

Клауа разработал трехзначную теорию множеств. Он вводит так называемые частичные множества и частичные кар­динальные числа Получающаяся в результате арифметика кар­динальных чисел для конечного случая в точности соответствует интервальной. Таким образом, аналогом интервальной арифме­тики на I(R) служат операции над трехзначными числами. На­ряду с отношением = из определения 1 применяется более сла­бое отношение =#, которое для А=[а1, а2] и В = [b1, b2] за­дается следующим образом:

Отношение =# рефлексивно и симметрично; кроме того,

Это означает, что еслито для всех а и b, таких что

мы всегда имеем а≠ b. Соответственно

Имея в виду отношение =#, можно рассмотреть І(R) как разновидность обобщенного поля и, например, доказать следую­щие свойства:

Каухер предложил расширенное множествополучив его как результат дополнения І(R) так называемыми нерегу­лярными интервалами, т. е. интервалами отрицательной ширины. В этом случае точечные интервалы [а, а] больше не являются минимальными элементами в смысле порядка, зада­ваемого отношением . Все структуры І(R) переносятся на и с помощью несобственных элементов р и —р до­стигается замкнутость. Подобным образом можно определить деление на интервал [а1, а2], у которого

7.2. Свойства интервальной арифметики

Введем теперь понятие расстояния на множестве веществен­ных интервалов.

Определение 1. Расстояние q(A, В) между двумя интервалами А и В, такими что определяется равенством

Легко показать, что отображение q задает на І(R) метрику. Действительно, q обладает следующими свойствами:

Выполнение неравенства треугольника проверяется следую­щим образом:

Если применить введенное таким способом расстояние к то­чечным интервалам, то оно сведется к обычному расстоянию между вещественными числами. Иначе говоря,

Предложенная здесь метрика является для І(R) хаусдорфовой. Хаусдорфова метрика обобщает понятие расстояния между двумя точками в метрическом пространстве (у нас таким про­странством является R с на случай простран­ства всех компактных непустых подмножеств данного простран­ства. Если U и V — непустые компактные множества веществен­ных чисел, то хаусдорфово расстояние определяется как