Дискретно-непрерывная математика (стр. 74 )

Существуют другие полезные определения хаусдорфовой метри­ки. Легко убедиться в том, что для вещест­венных интервалов А и В хаусдорфова метрика задается выра­жением из определения 1.

Вводя на множестве І(R) метрику, мы делаем его тополо­гическим пространством. При этом понятия сходимости и непрерывности могут использоваться обычным образом, как и в случае метрического пространства. В этой связи мы получаем, что последовательность интервалов сходится к интервалу А =[а1, а2] тогда и только тогда, когда последователь­ность границ отдельных членов последовательности сходится к его соответствующим границам. Следовательно, мы можем записать

(1)

Доказательство этого утверждения мы опускаем, так как его легко получить непосредственно из определения расстояния между двумя интервалами.

Введенная нами метрика используется в следующей теореме

Теорема 2. Метрическое пространство (І(R), q) с метрикой из определения 1 является замкнутым метрическим простран­ством.

(Это означает, что любая интервальная последовательность Коши сходится к интервалу.)

В теореме 3 рассматривается характер сходимости широко используемого класса интервальных последовательностей.

Теорема 3. Каждая последовательность интерваловдля

которой справедливо соотношение

сходится к интервалу

Доказательство. Пусть имеется последовательность границ, такая что

Тогда последовательность нижних границ интервалов из является монотонной неубывающей последователь­ностью вещественных чисел, ограниченной сверху величиной Эта последовательность сходится к вещественному числу а1. Аналогично, монотонная невозрастающая последовательность вещественных чисел сходится к вещественному числу а2, причем а1≤а2. Равенство

проверяется столь же простым способом.

Как видно из доказательства, каждая последовательность для которой

сходится к такому интервалу А, что А В.

Для арифметических, а также других определенных выше операций справедлива

Теорема 4. Введенные ранее операции сложения, вычитания, умножения и деления интервалов непрерывны.

Доказательство. Мы приводим доказательство только для операции сложения. Пусть— две последовательности интервалов, причем Из (1) вытекает, что последовательность интервальных сумм имеет предел

Доказательство непрерывности остальных операций может быть проведено аналогичным способом.

Обобщением теоремы 4 служит (см. определение 3 п.7.1)

Следствие 5 . Пусть r — непрерывная функция и

Тогда r(Х) — непрерывное интервальное выраже­ние.

Доказательство этого следствия основывается непосредствен­но на факте непрерывности функции r и поэтому здесь будет опущено. Следствие 5 гарантирует непрерывность выражений, подобных Xk, sin X и ех.

Определение 6. Пусть Абсолютной величиной этого интервала будем называть величину

Абсолютную величину интервала можно записать и в виде

(2)

Очевидно, что если, то

(3)

Докажем теперь некоторые свойства, связанные с метрикой на

Теорема 7. Пусть

Тогда

(4)

(5)

(6)

(7)

Доказательство. (4): Из определения метрики q следует, что

(5): Из неравенства треугольника, предыдущего свойства (4) и симметричности q вытекает, что

(6):

(7): Пусть Для краткости будем использовать обозначенияТогда утверждение (7)

можно записать в виде

Докажем, что

Неравенство

доказывается аналогично.

Перепишем предыдущее соотношение (6):

Теперь без потери общности можно предположить, что

(Случай рассматривается точно так же.)

Поскольку

существует такое а из А, что

Из свойства монотонности включения следует, что

откуда видно, что

Итак,

Отождествляя | A | с q(A, 0), получаем следующие легко про­веряемые свойства абсолютного значения:

(8)

Вот доказательство последнего равенства:

Остальные соотношения доказываются подобным же образом. Определение 8. Шириной интервала А =[а1, а2] будем называть

Множество точечных интервалов можно теперь описать как

Из определения 8 сразу же получаем свойства

(9)

(10)

Утверждение (9) доказывается тривиально — достаточно определение 8 переписать в виде

(11)

Проверим свойство (10) для операции сложения:

Вычитание проверяется точно так же Кроме того, имеет место теорема.

Теорема 9. Пусть А и В — вещественные интервалы из Тогда

(12) (13) (14) (15)

(16)

Если то

(17)

Доказательство (12): Используя тождество (11), получаем

(13): Сначала докажем, что