Дискретно-непрерывная математика (стр. 125 )

что приводит к оценке

и

Если теперь заметить, что является по существу верхней границей для k1, то для включения получатся те же достаточные условия, что и для

Отметим, наконец, что в случае одного уравнения с одним неизвестным условие выполнено тогда и только

тогда, когда верно

Вместе с предыдущей теоремой это дает следующее утверж­дение.

Следствие 15. В случае одного уравнения с одним неизвестным условия теоремы Ньютона — Канторовича выполнены тогда и только тогда, когда

Bоспроизведем теперь один результат, чтобы сравнить его впоследствии с теоремой 12 для случая

Теорема 16. Пусть и отображение

дважды дифференцируемо. Допустим, что для выполнены следующие условия (29)

(30) (31)

(32)

(33)

Тогда функцияимеет нуль в

В формулировке следующей теоремы используется возмож­ность записатьв виде

где — центр Чтобы показать это, заметим, что величина

симметрична, так что исходное определение можно переписать в виде

Далее мы имеем

Так как обе матрицы, входящие в эту сумму, неотрицательны, мы можем записатьв виде

что и дает равенство

Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 17. Положим

и допустим, что имеет место

Тогда выполнены условия (29)—(33) теоремы 16 (а значит, и условия теоремы (13)). Заметим, что ввиду

наше предположение сильнее, чем наше предположение сильнее, чем требования на в теореме 14.

Доказательство. Мы имеем

Из того что следует

где использованы обозначения

и

Далеемы имеем

откуда следует

Условие выполнено тогда и только тогда, когда

Полагая получаем, что оно эквивалентно условию

ввиду равенства

Иными словами, оно эквивалентно неравенству

Отсюда следует, что

и

Таким образом, мы проверили выполнение условий (29), (30) и (32), (33) теоремы 16. Остается доказать, что

Из следует, что

а потому

Как уже отмечена, изеще не следует, что выполнены условия теоремы 13. Поэтому рассмотрим следующий про­стой пример.

Пусть

Тогда имеет в х кореньВвиду

мы имеем Далее получаем

т. е. Вторая производная равна

откуда следует

для Простое вычисление дает

Отсюда следует т. е. тео-

рема 13 не применима. С другой стороны, для величины из теоремы 12 мы, полагая получаем, что

Это означает, что применима теорема 12 при і=1 (равен­ство (22)). Аналогичное вычисление показывает, что в нашем примере выполнено (см. теорему 10) при

Если сравнивать достоинства и недостатки теорем 12 и 13, то теорема 12 кажется предпочтительнее, так как она приме­нима к произвольным интервальным векторам, а не только к шарам, определяемым ∞-нормой. С другой стороны, результат теоремы 13 справедлив для произвольных норм. Эти замечания показывают, что теоремы существования, сформулированные в этом микромодуле, можно считать существенным дополнением к теореме Ньютона — Канторовича.

Это верно и для утверждений о существовании, содержа­щихся в теоремах 8—11. Их важное преимущество по сравнению с классическим утверждением из теоремы 13 состоит в том, что не нужны ни вторая производная, ни константа Липшица.

Замечания. Рокн и Ланкастер также занимались задачей о ло­кализации решений системы уравнений похожей на задачу с одним уравнением от одной переменной. Для системы делается один шаг метода Ньютона и с помощью оценок для находится локализация. В действительности это применение теоремы Канторовича. Задача о собственных числах сводится из­вестным способом к решению системы нелинейных уравнений. Существует модификация интерваль­ного метода Ньютона (7). При этой модификации нет необходимости вычислять локализации для обраще­ний всех матриц, содержащихся в данной интервальной ма­трице. Для итерационной процедуры